（中铁十六局集团路桥工程有限公司，北京，密云，101500）
【摘要】为更好的理解不同线元计算的原理，提高公式计算精度，对线元法坐标计算的公式进行推导，得出适用于所有线元计算的通用公式。该公式计算精度高、适用性强，通过用Excle自带函数对公式进行编程，可快速批量计算。
【关键词】线元；通用；计算；精度
1引言
根据线路设计相关规范，线元共分四种：直线段、圆曲线段、完整缓和曲线段、非完整缓和曲线段，每种线元都有不同的坐标计算公式。且大多数文献资料上的线元坐标计算公式取位较少，精度相对较低，对于部分线形计算能满足精度要求。但近些年工程施工规模越来越大，精度要求越来越高，传统的公式已不能满足规范要求。为方便测量同仁掌握线元坐标计算原理，提高测量效率，减少测量错误，保质保量完成测量任务。现就线元法坐标计算的公式进行重新推导，并进行化简归纳出适用于所有线元的通用公式。
2通用公式的推导及应用
2.1传统计算方法的短板
各线元坐标计算时需要不同的公式计算，公式的取值（项数）都是近似取前几项，这就给测量人员计算带来了下面几个问题：首先，公式的幂级数大多是固定的，一般展到11次幂，最高展到19次幂，经过计算后得到的坐标数值都是近似值，精度不高；其次，公式的计算必须是完整的线元（主要指缓和曲线），否则需要先计算出线元起始点要素；最后，近似公式计算时线元的最大偏角△β必须小于90度，否则计算结果将出现错误[1]。
2.2通用公式的推导
国家现行标准规定缓和曲线采用回旋线设置，回旋线是一种曲率随曲线长度成比例变化的曲线，不仅可以使线形更加美观，而且与驾驶员匀速转动方向盘由圆曲线驶入直线或者由直线驶入圆曲线的轨迹线相符合。其基本公式为[2]：（1）
其中：R—回旋线上某点曲率半径（m）；
L—回旋线上其点到原点的曲线长（m）；
A—回旋线参数；
线元上任意微弧dl与其所对应的坐标增量dx、dy及角度增量dβ，有如下关系：如图1
（4）
现从特殊的非完整缓和曲线坐标计算公式进行推导，见图2。将非完整缓和曲线QO’进行延长到O点，构成完整缓和曲线。
由公式（1）可知
公式（2）用泰勒级数展开，同时把公式（6）代入，过程中运用二项式定理计算：
积分后化简得：
同理对公式（3）进行相同计算可得：
2.3证明通用公式适用于所有线元
2.3.1完整缓和曲线
R1趋向无穷大，1/R1趋近于零，由公式（5）可得A2=R2•L，则公式（7）化简为：
n取4代入上式得
同理公式（8）化简后n取4代入得
同理公式（6）化简得
由参考文献【3】可知，公式（9）（10）（11），就是完整缓和曲线的坐标计算公式。
2.3.2圆曲线
R1=R2=R，由公式（5）可得1/A趋近于零，n取4代入公式（6）（7）（8）可得：
以圆曲线的切线建立坐标系，如图3
按泰勒级数展开如下：
由弧长公式，可得代入公式（15）（16）后得公式（12）（13）。所以公式（12）（13）（14）就是圆曲线的计算公式，见参考文献【3】。
2.3.3直线
R1=R2趋近于无穷大，1/R1趋近于零，A也趋近于无穷大，由公式（5）可得1/A趋近于零，则公式（6）（7）（8）可得：
公式（17）（18）（19）就是直线的计算公式，见参考文献【3】。
2.3.4说明
通过上面的证明可知，完整缓和曲线、圆曲线和直线的坐标计算公式是通用公式的特例，由此可见通用公式适用于各种线元坐标计算。传统教科书和刊物上没有通用公式（6）、（7）、（8），只有前面3~5项取值的近似公式。利用前面所推导出的通用公式，当n值取26时，△l的幂级数就可以达到100。在实际线路计算中，n值取到20就已经很精确了，完全可以满足各种工程规范设计要求。
2.4应用展示
为更容易理解公式、观察公式、对比出公式计算结果的精度，假设线元的起始点坐标XO’=0、YO’=0，起始方位角β1=0，见图2中X’O’Y’坐标系，代入坐标系转换公式。
由通用公式（6）、（7）、（8）知，只要已知线元长L，线元起始点半径R1，线元终点半径R2，距线元起点距离△l，这4个已知计算要素，就能计算出该线元上的所有点的增量△x、△y、△β。为验证公式计算精度，将公式在Excle中用自带的函数进行编程计算，公式中n取值30。
2.4.1计算表
见表1~表4
表4非完整缓和曲线-线元计算表
2.4.2说明
表1~表4里面的坐标增量数据为便于与有积分功能的计算器数据进行对比，只保留到小数点后10位，经对比，表中计算数值完全正确。由以上计算表可看出，通用公式计算线元时的偏角△β都在270度以上，突破了传统公式偏角小于90度的限制，且在Excle中运算速度极快。
该通用公式在Excle中编程后，于西柏坡高速、漳永高速、呼市西北线等线形工程应用中取得了非常好的效果，计算结果完全正确，得到了监理单位、设计单位及建设单位的肯定。
3结束语
本文通过对非完整缓和曲线上任意点的坐标进行求解，并对公式推导过程进行详细的阐述，最后总结整理归纳出不同线元坐标计算的通用公式。又通过公式内参数的变化情况，证明通用公式适用于所有线元的坐标计算。应用Excle中自带函数编辑此通用公式，分别计算直线、圆曲线、完整缓和曲线、非完整缓和曲线的线元坐标，计算运行速度极快，数值精度极高，且能批量生产。此通用公式实用性强、原理清楚、适合编程、运算迅速、精度极高、批量计算；不但能在电脑上完美的完成内业数据计算，在智能手机横行的今天，外业数据计算能力同样强悍，只需把Excle表格放到手机中即可。应用此通用公式计算线元坐标将大大提高内外业测量工作效率、提高内外业计算数据精度、降低数据计算错误概率。以后还将继续对通用公式进行完善，通过优化视窗、增加计算应用、与AutoCAD联用等手段加强通用公式的操作性、实用性、联动性。
参考文献：
[1]谭辉.大参数小半径非完整缓和曲线的计算[J].测绘科学，2012，(2)：54-56+82.
[2]王伯惠.道路立交工程[M].北京：人民交通出版社，1999.
[3]李青岳，陈永奇.工程测量学[M].北京：测绘出版社，1995.
作者简介：
王长欢（1982-），男，汉族，北京密云人，工程师，现从事施工测量工作。