几类广义浅水波方程的适定性和爆破性

论文摘要

本文主要研究几类广义浅水波方程（组）.这是一类描述浅水环境中流体运动的方程,是常见的浅水波方程,如Camassa-Holm方程,Novikov方程,Fokas-Olver-Rosenau-Qiao方程等在可积系统的推广,它们在水波中有很重要的物理背景.对于这几类广义浅水波方程（组）,我们着重研究其在Besov空间的局部适定性,解在有限时间内爆破的判定准则,强解关于初值的非一致连续性,和强解的持续性质.我们首先在第二章研究了广义Fokas-Olver-Resenau-Qiao方程mt+（（u2-ux2）Qm）x=0 t>0,x ∈R.的Cauchy问题,其中m=u-uxx,Q ≥1.作为FORQ方程的推广,高阶非线性项和导数项“ux”给适定性的研究带来一定的困难.我们首先运用输运方程理论,Littlewood-Paley分解和Osgood引理,证明了初值在Besov空间Bp,rs（R）（s>max{2+1/p,5/2}）和临界空间B2-2,1（R）的局部适定性.然后,运用特征线方法和交换子估计给出了两个强解在有限时间爆破的判定准则.这里的局部适定性和爆破结果尚属探索性的,填补了广义Fokas-Olver-Resenau-Qiao方程在分析方面的空缺.接着在第三章研究了如下高维Camassa-Holm方程mt+u.▽7m+▽uT · m+m（div u）=0,t≥ 0,x ∈ Td,的周期初值问题,其中d表示空间变量的维数,Td=（R/2πZ）d是空间Rd的环域.我们参考Camassa-Holm方程关于解映射的非一致连续性的相关研究,同时结合高维Euler方程的非一致连续性的研究方法,构造合适的近似解,充分利用Fourier级数带来的便利以及输运方程理论进行误差估计,最终证明了,对任意维数d≥ 2,和1≤r ≤ ∞,s>1+d/2,映射解从B2,rs到E2,rs（T）是非一致连续的.这里T>0,E2,3s（T）定义为我们的证明结果是对高维Camassa-Holm方程分析研究的补充,同时也推广了经典Camassa-Holm方程的相关结果.最后我们在第四章研究了下列具有旋转效应的广义二分量b族方程的Cauchy问题.受Brandolese关于Camassa-Holm方程在加权Sobolev空间的研究工作的启发,我们将证明,对一大类“适中的”权函数,该问题在加权Lp（2≤p≤∞）空间强解的持续性质.关于这个方程,目前还没有解的持续性结果;我们的结果包含了经典Camassa-Holm方程,以及其他一些特殊情形二分量Camassa-Holm方程的结果,并且可以应用到更一般的二分量方程.特别地,通过对不同权函数函数的选取,可从其持续性结果直接获得解关于空间变量的渐近信息.其次,我们研究了这个问题的强解在有限时间发生爆破的判定准则.由于方程没有守恒律和三阶非线性项“ρ（ρu）x”带来的困难,我们创造性地利用方程本身特有的结构,通过实施能量方法,充分利用交换子配置,首先得到了 ||u（t,·）||L2与||ux（t,·）||L2的估计,然后再利用Gagliardo-Nirenberg不等式得到u（t,·）的L∞估计||u（t,）||L≤eM1σ（b2）T/2（||u0||L2+||u0x||L2+（1-2ΩA）||ρ0||L2）,其中,假设M1>0,使得对（t,x）∈[0,T)×R,ux（t,x）≥-M1.进而完成了爆破准则的证明.

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文章来源

类型: 博士论文

作者: 杨美玲

导师: 周富军

关键词: 广义方程,高维方程,空间,适定性,爆破,非一致连续性,解的持续性

来源: 华南理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,力学

单位: 华南理工大学

分类号: O175;O35

DOI: 10.27151/d.cnki.ghnlu.2019.004432

总页数: 105

文件大小: 3558K

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