导读:本文包含了堆垒数论论文开题报告文献综述、选题提纲参考文献及外文文献翻译，主要关键词:数论,素数,不等式,子集,区间,有理,数学。
堆垒数论论文文献综述
李太玉[1]（2012）在《关于素变量的堆垒数论问题》一文中研究指出堆垒素数论是从Vinogradov的关于叁素数定理的着名证明[119]和华罗庚的关于非线性Waring-Goldbach问题的工作[36]这两篇具有开创意义的文章开始发展起来的.这两篇文章的证明都是用Hardy-Littlcwood圆法并结合Vinogradov的关于素变量叁角和估计的方法来完成的.在那以后,尤其是近十多年来,圆法、筛法、指数和估计中的一些新的技术手段不断发展起来,并且成功地用在了Waring-Goldbach问题上,并由此给出了很多深刻的结果.在本文中,我们将用圆法、筛法、指数和估计来研究几类关于素变量的堆垒数论问题.在第一章,采取综述的形式,我们首先简要介绍一下Waring-Goldbach问题,紧接着我们重点了解用来解决Waring-Goldbach问题的一些基本技术手段,特别是近十年间发展起来的关于圆法、筛法及指数和估计中的新的思想和方法.这些新方法和技术将包括圆法中扩大的主区间以及Harman筛法等,而且它们与后续章节中我们要解决的问题有着十分密切的联系.在堆垒数论中,所得到的算术结果的质量往往依赖于主区间的大小.而传统的扩大主区间的方法是通过Deuring-Heilbronn现象来实现的,例如可参见Montgomery和Vaughan的文章[91]以及廖明哲和曾启文的文章[77]中的相关工作.1998年,刘建亚和展涛[70]发现了一种扩大主区间的新方法,使用该方法不再受到Siegel零点存在的影响,从而可以避开Deuring-Heilbronn现象.后来,这一方法在文[61]中得到了完善和发展.最近,刘建亚在[62,63]中又引入了一些不同于以往方法的技术手段,进而可以处理更大的主区间.而他文章中所考虑的堆垒数论问题中的变量个数要求至少为5.在第二章,我们将引入另外的一些技术来处理Waring-Goldbach问题中的扩大的主区间,并得到一个一致性的结果,并且在叁个和四个变量的情形,我们改进了刘的结果.令κ为一个固定的正整数.k次Waring-Goldbach问题是研究下述方程的解的存在问题n=P1k+···+psk,(0.1)其中p1,…,：ps为素数,n为满足所需同余条件的充分大的整数.显然,Goldbach问题仅仅是Waring-Goldbach问题的线性情形.这里为了给出第二章中的结果,我们需要引入一些记号.假定χk=n,从而我们可以用L表示logn.或logx.变量P,Q满足0<2P<Q≤n/P.由Dirichlet有理逼近引理,对满足条件1≤a≤q≤Q和(a：q)=1的整数a,q,任意一个实数α∈[1/Q,1+1/Q]都可以写成α=α/q+λ,|λ|≤1/(qQ)的形式.我们将所有这样的a的集合记为m(a,q),并且定义主区问此外,定义指数和在文[119]关于叁素数定理的证明中,Vinogradov实际上得到了对变量下面这个关于主区间上的表法个数的渐近公式成立这里,C1,C2是正的常数,A为任意的正数,(?)(n)则是该问题的奇异级数并且对奇数n满足(?)(n)>1/2.利用近十年来的新方法,我们可以取非常大的参数P.方便起见,我们令其中19为一个正的常数,B为一个依赖于给定常数A的正数.在[100]中,任秀敏得到了θ<6/25.而利用[76]中第六章的方法,我们实际上可以将任的结果改进到θ<1/3.在第二章中,我们将进一步改进θ的取值.下面是我们的第一个定理.定理2.1.设κ=1,主区间(?)由(0.2)式定义并且参数P.Q由(0.4)式确定.那么,渐近公式(0.3)对θ<9/20成立.在非线性情形,刘建亚和展涛证明了如下结果：⒈(刘建亚、展涛[76,第六章]).对下面的渐近公式成立Ⅱ(刘建亚[62]).而对下面的渐近公式成立这里62,3(n.P)和(?)κ,s(n)(当κ≥4时)是该问题中对应的奇异级数(其算术性质已在华罗庚着作[38]中解决),而Jk,s(n)则是该问题中的奇异积分,并且满足Jk,s(n)=χs-κ.利用证明定理2.1的方法,我们可以得到下面这个关于Waring-Goldbach问题的扩大的主区间的一致性结果,并且改进了上面二次情形下刘和展的结果.定理2.2.设s≥3,主区间(?)由(0.2)式定义并且参数P.Q由(0.4)式确定.那么,渐近公式(0.5),(0.6)及(0.7)对θ<9/20成立.现在令κ≥2为一个固定的正整数,并假定其中前面的某些χj可以等于χ1,而剩余变量的阶则要小.基于上式,我们用L来表示1ogn.不同于(0.1),我们现在考虑如下素变量方程令其中θ为一个正的常数,B>0为一个依赖于给定常数4的正数.注意在(0.9)式中P是由χs定义的,而不是χ.定义(?)=(?)(P)如(0.2)式所示.另外,对.j=1,...,s,定义指数和将证明定理2.1和定理2.2的方法稍加调整,我们可以得到下面这个结论.定理2.3.设s≥3,χ及χj由(0.8)式给出,主区间(?)由(0.2)式定义并且参数P,Q由(0.9)式确定.那么对θ<9/20,我们有下面这个渐近公式其中A>0为任意的正数,(?)k,s(n)是定理2.2中给出的奇异级数62,3(n,P)或(?)k,s(n)(当s≥4时),而J(n)则是相应的奇异积分且满足实际上,在最初发现扩大主区间技术的文章中,刘建亚和展涛考虑的是表大整数为几乎相等的素数的平方之和的问题.定义集合在第叁章中,我们将研究表大整数n为叁个、四个或五个几乎相等的素数的平方之和这一问题.具体来说,给定一个大的整数n∈Hs,s≥3,对H=o(n1/2),我们考查下面这个方程很多作者对五个变量的情形做了研究,得到了一系列漂亮的结果(参见[69,72,9,82,12,84]).目前最好的结果是由刘建亚、吕广世和展涛在[67]中得到的：(0.10)式对s=5和H=n9/20+ε成立.引入Harman筛法后,我们可以得到更好的结果.定理3.1.对s=5及H=n4/9+ε,所有充分大的整数n∈H5都可以表示成(0.10)式所示的形式.此外,对s=3,4,我们也研究了不能表Hs中的整数n为s个几乎相等的素数的平方之和问题的例外集.对H=o(X1/2)及s=3.4,定义一方面,对固定的△>0,我们希望得到下面的例外集上界而这一上界其实隐含着,对H=nθ/2,几乎所有的整数n∈Hs都可以表为(0.10)式所示的形式.换句话说,这种情况下我们希望(0.11)式中的θ越小越好.另一方面对(0.11)式,给定一个θ,我们希望△的值越大越好.s=4时,吕广世和翟文广在文[87]中对上面两种情况都做了研究.首先,对θ>0.84及某些△=△(θ)>0,他们证明了(0.11)式成立.其次,他们还证明了,对θ>0.9及某些η=η(θ)>0,有下面这个定理推广并改进了(0.12)式中的结果.定理3.2.对任意固定的θ,如果满足8/9<θ<1,我们有而定理3.3对吕和翟的第一个结果从两个方面做出了改进：将θ的下界降为0.82、给出了△的显式表达式.定理3.3.对任意固定的θ,如果满足0.82<θ<1,我们有此外,用证明定理3.2和3.3的方法,我们还得到下述定理中关于E3(X；Xθ/2)的估计.定理3.4.对任意固定的θ,如果满足0.85<θ<1,我们有其中σ=σ(θ)如定理3.3中所示.此外,如果8/9<θ<1,我们有不同于经典的Waring-Goldbach问题,我们对变量个数超过5的情形也感兴趣.特别地,我们有如下定理.定理3.5.设s≥6,并令那么,对H=nθs/2+ε,所有充分大的整数n∈Hs都可以表为(0.10)式所示的形式.在最后一章,我们将考查堆垒素数论中的其它几个问题,其中包括我们在这几个方向上所做的一些工作：素数的平方与一个素数的k次方之和、几乎相等的素数的立方和以及素数的混合方次之和.我们利用圆法并结合指数和的最新估计来解决这几个问题.在前两个问题上我们实质性地改进了以往的结果,而在第叁个问题上我们通过证明一个更强的结果深化了Prachar的经典定理.(本文来源于《山东大学》期刊2012-05-20）
郭曙光[2]（2004）在《有理方体与堆垒数论中若干问题》一文中研究指出本文研究有理方体与堆垒数论中的一些问题。得到的主要结果如下： 1．棱长和面对角线长均为有理数的长方体称为有理方体。找有理方体等价于解丢番图方程组：x~2+y~2=l~2，x~2+z~2=m~2，y~2+z~2=n~2。许多数学家(包括欧拉)都曾研究过这一问题，给出了许多参数解。对任一本原商高组(a，b，c)，是否存在整数s，t使得s~2+t~2a~2，s~2+t~2b~2均为平方数呢?本文提出这一问题，并给出处理这个问题一般方法。一定意义上说，我们将这一问题归结为有限计算。 2．设A是k个正整数构成的集合。称{∑_(b∈B)b：B(?)A，B≠φ}为A的子集和集合，记为S(A)．M．B．Nathanson在Trans．Am．Math．Soc．(1995，347(4)：1409-1418)中研究了子集和的逆问题，并提出一个未解决问题。本文研究这一问题，提出如下猜想：若|A|=k≥ 6，gcd(A)=1，A中最大数为M，则同时给出这个猜想的部分证明。所得定理改进了Nathanson的结果。 3．设G为有限阿贝耳群。对满足条件|A|+|B|=|G|的G的非空子集A和B，我们确定了和集A+B={a+b：a∈A，b∈B}基数的所有可能取值，并描述使A+B≠G的那些子集A，B的结构。记 A(?)B={a+b：a∈A，b∈B，a≠b}，L(G)=|{g：g∈G，2g=0}|。对满足|A|+|B|=|G|+L(G)的G的非空子集A和B，我们证明了|A(?)B|≥|G|-2，并完全描述使A(?)B≠G的那些子集A，B的结构。所得结果推广了L．Gallardo等人在Z／nZ中关于A(?)A的相应结论(J．London Math．Soc．2002，65(2)：513-523)。 4．设A，B为整数区间[1，n]的两个非空子集，t为正整数。定义 (A+B)_t={x∈A+B：至少存在t对(a，6)∈A×B使得x=a+b}。本文证明了：若|A|+|B|≥(4n+4t-3)／3，则(A+B)_t中包含一个长至少为|A|+|B|-2t+1连续整数块。利用我们的方法，我们还证明了：若|A|+|B|≥4n／3，则A+B中包含长为n的算术级数；对任一满足2≤r≤(4n-1)／3的整数r，存在[1，n]的两个非空子集A，B使得|A|+|B|=r，而A+B中算术级数长度至多为(r+2)／2，进而至多为(2n-1)／3+1。同时，我们给出了这些结果在A(?)B中的平行结论。(本文来源于《南京师范大学》期刊2004-06-30）
陆鸣皋[3]（1984）在《一类堆垒数论问题(Ⅰ)》一文中研究指出§1 引言 堆垒数论中有一个着名的猜测: 设k_1,…,k_s是s个大于1的整数,且k_1≤k_2≤…≤k_s及sum from j=1 to s (k_j~(-1)>1)。又对每个素数p,对大的k,同余方程 X_1~(k_1)+X_2~(k_2)+…+X_s~(k_s)≡n(modp~k) 对某些j,P|x_j都有解,那末当n充分大时,方程(本文来源于《数学研究与评论》期刊1984年03期）
堆垒数论论文开题报告
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文研究有理方体与堆垒数论中的一些问题。得到的主要结果如下： 1．棱长和面对角线长均为有理数的长方体称为有理方体。找有理方体等价于解丢番图方程组：x~2+y~2=l~2，x~2+z~2=m~2，y~2+z~2=n~2。许多数学家(包括欧拉)都曾研究过这一问题，给出了许多参数解。对任一本原商高组(a，b，c)，是否存在整数s，t使得s~2+t~2a~2，s~2+t~2b~2均为平方数呢?本文提出这一问题，并给出处理这个问题一般方法。一定意义上说，我们将这一问题归结为有限计算。 2．设A是k个正整数构成的集合。称{∑_(b∈B)b：B(?)A，B≠φ}为A的子集和集合，记为S(A)．M．B．Nathanson在Trans．Am．Math．Soc．(1995，347(4)：1409-1418)中研究了子集和的逆问题，并提出一个未解决问题。本文研究这一问题，提出如下猜想：若|A|=k≥ 6，gcd(A)=1，A中最大数为M，则同时给出这个猜想的部分证明。所得定理改进了Nathanson的结果。 3．设G为有限阿贝耳群。对满足条件|A|+|B|=|G|的G的非空子集A和B，我们确定了和集A+B={a+b：a∈A，b∈B}基数的所有可能取值，并描述使A+B≠G的那些子集A，B的结构。记 A(?)B={a+b：a∈A，b∈B，a≠b}，L(G)=|{g：g∈G，2g=0}|。对满足|A|+|B|=|G|+L(G)的G的非空子集A和B，我们证明了|A(?)B|≥|G|-2，并完全描述使A(?)B≠G的那些子集A，B的结构。所得结果推广了L．Gallardo等人在Z／nZ中关于A(?)A的相应结论(J．London Math．Soc．2002，65(2)：513-523)。 4．设A，B为整数区间[1，n]的两个非空子集，t为正整数。定义 (A+B)_t={x∈A+B：至少存在t对(a，6)∈A×B使得x=a+b}。本文证明了：若|A|+|B|≥(4n+4t-3)／3，则(A+B)_t中包含一个长至少为|A|+|B|-2t+1连续整数块。利用我们的方法，我们还证明了：若|A|+|B|≥4n／3，则A+B中包含长为n的算术级数；对任一满足2≤r≤(4n-1)／3的整数r，存在[1，n]的两个非空子集A，B使得|A|+|B|=r，而A+B中算术级数长度至多为(r+2)／2，进而至多为(2n-1)／3+1。同时，我们给出了这些结果在A(?)B中的平行结论。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
堆垒数论论文参考文献
[1].李太玉.关于素变量的堆垒数论问题[D].山东大学.2012
[2].郭曙光.有理方体与堆垒数论中若干问题[D].南京师范大学.2004
[3].陆鸣皋.一类堆垒数论问题(Ⅰ)[J].数学研究与评论.1984
论文知识图
