云南宣威市第七中学陈丽芸
这一节将根据文献分析的结果，首先界定表征、内部表征、外在表征及多元外在表征的涵义，然后对多元外在表征在数学学习和教学中的研究状况和成果进行综述．
一、表征（representation）的涵义
表征是认知心理学的基本概念之一．“表征”在辞海中的解释是“揭示，阐明”，事物显露的外在征象．认知心理学家中把“信息的记载或表达方式”称为对这种信息的“表征”．在认知科学、教育心理学等领域中的含义是指用某一种形式(物理的或心理的)，将一种事、物、想法或知识表示出来．
人们对表征的定义可以看成是对问题的理解，表征即：信息的记载与表达方式．
综上，表征指对信息的记载与表达方式，包含两方面的含义：信息和信息的加工(Simnon，1986)．一般具有两个部分：一是记录信息和呈现信息的形式；二是运用信息和调整信息的过程．
二、内部表征(internalrepresentation)涵义
“内部”一词而言通俗地说，是指“心里（的）”；专业地说，是指“心理（的）”；实质性地说，是指“头脑里（的）”；而对人说来，指“思想上（的））”、“观念上（的）”．因此，内部表征就是指头脑里的思想观念．把“信息在大脑中记载或呈现方式”称为“心理表征”．
希尔伯特(Hieberrt)和卡彭特(Carpenter)认为内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观察的心智表征或学习者拥有的心智结构，学习者通过外在表征表达出自己的想法而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行想象、推理等思想活动．
内部表征就是个体图式或认知结构，定义为个体拥有的心智结构(Hieberi&Carpenter,1992)．内部表征包括学生个人的符号建构，对于数学符号的意义赋予，
以及学生的自然语言、视觉想象和空间表征、解题策略等．
卡尔丁(Goldin)认为内在表征则指学习者对于数学对象的意义赋予与建构，包括学习者的言语语义、心像、视觉空间标识、计划监控策略及启发法、数学的情感表征系统等．
综上，内在表征是指学习者在头脑中拥有的认知结构或者心智结构．
三、外在表征（externalrepresentation）的含义
ZhangJ认为，外部表征被定义为问题情景的成分和结构，包括物理符号、物体、维度，以及外部规则、约束条件或边界条件等．
希尔伯特(Hieberrt)和卡彭特(Carpenter)认为，外在表征是指以语音、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情景等形式存在的表征．
卡尔丁(Goldin)认为，外在表征是从传统的数学符号系统（如数轴、笛卡儿坐标系）到结构性的学习情境（如那些包含具有操作活动的数学学习活动情境、基于电脑的微观学习环境）．
综上，外在表征是信息记载的表达方式，就是思想或者概念的具体体现，以文字、符号、几何图形、图片、具体模型式、活动情境等形式存在．
四、多元外在表征的涵义
简威尔(Janvier)认为，多元表征是指同一数学对象的不同表示形式，一个数学对象的多元表征好比星形的冰山，中心是此对象的核心概念，每一尖端对应着一个表征形式，而完整的一个对象就是整座表征结构的冰山．欧比金(Erbilgin)指出多元表征指同时提供关于一个概念的信息的外部表征(多于一种形式)．一个概念的多元外部表征往往是人们从不同的角度、依不同目的的给出．如，为了能直观的感知到什么是平行四边形，可以画出它的图形，为了明确其本质属性，则要用到语言表征“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形”等．这些不同的表征形式反映了概念的不同侧面，同时使用它们，使关于同一概念的不同信息互相补充，从而达到对概念的全面理解．思法德(Sfard)指出数学概念的标准既可以作为一个静止结构性的内容，同时又作为一个“动态的、继时的和详细的概念”．例如“函数”、“和”、“极限”等一系列概念在学生头脑中的表征并非完全的静态的，而是一种“过程-对象”的耦合体．
综上，多元表征（MultipleRepresentation）指同一个事物的不同表征形式，多元外在表征是指同一事物的不同外在表征形式．