关键词：圆；对称；漏解；思维；缜密
圆是中心对称图形，其对称性不仅增添了它作为几何图形的美学价值，也增添了它作为几何概念的思维训练价值。因为由其对称性产生的一大类两值问题，恰恰是学生在解答过程中最容易疏忽而出现漏解的。所以在培养学生思维的缜密性方面，它起着不可或缺的作用。兹撷数例略作说明：
例1：A、B是⊙O上两点，且∠AOB=70°，C是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠ACB的度数是。
解：作出图1，则∠AOB与∠ACB分别为同弧AB上的圆心角与圆周角。由∠AOB=70°，可得∠ACB=35°。
漏解：事实上，A、B两点将⊙O分成了优弧AB和劣弧AB，点C也可在劣弧AB上，因此可作出图2，知遗漏一解.在优弧AB上任取点C′，连接AC′、BC′，由圆内接四边形ACBC′对角互补可得：
∠ACB=180°-35°=145°。
思考题：PA、PC分别切⊙O于A、C两点，B为⊙O上与A、C不重合的一点。若∠P=50°，则∠ABC等于。
（提示：本题需考虑B点可位于优、劣弧上两种位置，解答时需用到切线长定理。答案：65°，115°)
例2：在半径为5的圆内，有两条互相平行的弦，一条弦长是8，另一条弦长是6，则两条弦之间的距离是。
解：作出图3，在Rt△AOE中，OA=5，AE=3，可得OE=4。同理可求得OF=3。因此，AB、CD之间的距离EF=OE-OF=4-3=1。
漏解：作出图4，用与上面同样的步骤，可求得OE=4，OF=3。因此，AB、CD之间的距离EF=OE＋OF=4＋3=7。
思考题：水平放置的直径为40cm的圆柱形水管里面有水，从其横截面上量得水面宽20cm，求水面高。
（提示：本题易想到图5的情况，易遗漏图6的情况.答案：10cm，30cm）
例3：已知OA、OB是⊙O的半径并且互相垂直，延长OB到C点，使BC=OB，CD是⊙O的切线，D为切点，求∠OAD的度数。
解：据题意作出图7，△ODC为Rt△ODC，且OC=2OD，∴∠OCD=30°，从而∠COD=60°，故有∠AOD=30°。又∵△AOD为等腰△，∴∠OAD=(180°-30°)&pide;2=75°。
漏解：据圆的切线长定理，过圆外一点可以作圆的两条切线，作出图8.用与上面同样的步骤，可求得∠COD=60°，故有∠AOD=150°。又∵△AOD为等腰△，∴∠OAD=(180°-150°)&pide;2=15°。
思考题：如图9，AB是⊙O的直径，AC是弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD=1，求∠CAD的度数。
(提示：本题需考虑弦AD可画在圆被直径所分成两部分的每一部分上，因而有两种情况，如图9、图10.答案：15°，105°)
例4:已知⊙O的直径为14，弦AB=10，点P为AB上一点，且OP=5，则AP的长为。
解：据题意作出图11，连接OA，过点O作OC⊥AB，由垂径定理，得AC=5。又∵OA=7，由勾股定理可得OC=2。又∵OP=5，∴在Rt△OCP中，由勾股定理可得PC=1，从而AP=AC-PC=5－1=4。
漏解：据题意，亦可作出图12，连接OB，过点O作OC⊥AB，由垂径定理得BC=5。又∵OB=7，由勾股定理同样可得OC=2。据已知OP=5，在Rt△OCP中，由勾股定理可算得CP=1，∴AP=AC＋CP=5＋1=6。
思考题：⊙O的直径AB=13，C为⊙O上一点，CD⊥AB，垂足为D且CD=6，求AD的长。
(提示：作出图13，连接AC、BC，则△ACB为Rt△，CD为斜边上的高。解由AD＋BD=AB和CD2=AD?BD联立的方程组，可得AD=9或AD=4。当然，本思考题的解法能自然得出AD的两个值，但就对本题能完整理解的要求来说，解题者必须认识到位置不确定的垂足D点，亦可如图14，在弦AB上以O为中心的对称位置，从而事先也应能作出图14。
以上我们看到，圆上位置不确定的点，圆中位置不确定的弦，圆的位置不确定的切线，圆中弦上位置不确定的点，都会导致两解问题的产生。事实上，导致圆中两解问题产生的因素并不局限于这几个，如果我们将问题稍作拓展，考虑两圆相交与相切等情况时，也将导致两解问题的产生。解这类问题，关键是在根据题意作图时就要缜密地思考，先作出符合条件的所有图形，然后再分步解决。
参考文献：
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[4]石大浩.圆中的“弦”关[J].中学数学教学参考(初中)，2006(12).
作者单位：江西省上犹中学
邮政编码：341200