分布阶对流扩散方程的特征差分快速算法

论文摘要

本文研究的主要内容是:给出空间分布阶对流扩散方程的一种特征有限差分格式,以及其快速计算方法,且相应地模型如下:（?）其中,P（α）为非负的权重函数,并且满足如下的条件:V（x,t）表示流体平均流速,K为扩散项的系数,且K>0,f（x,t）表示流体的源汇项,（?）αu/（?）|x|α（x,t）表示Riesz分数阶导数,且具有如下的定义:其中（?）αu（x,t）/（?）+xα和（?）αu（x,t）/（?）-xα,（n-1<α<n）分别表示左侧α阶和右侧α阶的Riemann-Liouville导数,且其具体的表达式如下:其中,r（·）为Gamma函数。本文首先利用特征线方法,把分布阶的对流扩散方程（1.1）转化成为分布阶的扩散方程,再分别对分布阶α、时间和空间进行离散,进而给出与之对应的特征差分格式。接着对所得到的离散格式给出了相应的稳定性分析以及其误差分析,证明了本文给定的格式具有无条件稳定的性质,并且其在空间上和时间上以及关于分布阶的收敛阶为OOρ2+/h+t)。另外,由于关于时间的分数阶导数具有非局部的性质,需要利用之前所有的时间层的数值结果来求解当前的时间层的数值结果。那么,离散所得到的差分格式所对应的系数矩阵将是满阵或者稠密的矩阵,计算量和存储量则会随着对网格的不断加密而大幅度地增加,进而导致计算CPU耗时激剧地增长,计算效率也会随之降低。通过分析离散方程对应的系数矩阵的结构我们可以发现,该系数矩阵为Toeplitz矩阵,利用快速Fourier变换及其逆变换,可以使得该系数矩阵得到有效的存储。在此基础上,本文又基于矩阵-向量的快速乘法运算以及循环的预条件共轭梯度方法,提出一种该特征差分格式的快速求解方法。并且在本文的最后通过数值实验表明,该方法具有非常强的应用潜力,在很大地程度上降低了CPU的计算耗时。本文针对以上空间分布阶的模型,讨论了其对应地特征差分格式,给出相应的理论分析及其相应的快速求解算法。全文共分为四章:第一章:简要地介绍一下有关空间分布阶方程的背景、发展历程、研究进展以及其相应的模型知识。第二章:给出本文所研究的有关空间分布阶的对流扩散方程的模型,推导出该模型的特征差分格式,给出该格式的收敛性分析和稳定性分析。第三章:基于快速矩阵-向量乘法运算和循环预条件共轭梯度方法,给出求解该特征有限差分格式的快速算法。并且在文章最后给出三个实际的算例,以此来说明该特征有限差分格式在时间、空间、分布阶上的收敛阶以及求解该格式的快速迭代方法的高效率性质。第四章:对全文所做的内容给出相应的总结及展望。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 王锦

导师: 程爱杰

关键词: 空间分布阶对流扩散方程,特征有限差分格式,矩阵,预条件快速算法

来源: 山东大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山东大学

分类号: O241

总页数: 50

文件大小: 2305K

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