四川省剑州中学唐万平
从平面几何的学习到立体几何的学习,是一次认识思维上的飞跃。在已有的平面图知识的基础上,建立空间观念,实现从平几到立几的观念提升和飞跃不是一蹴而就的,要有一个循序渐进,逐步提高的过程。从一开始就应严格要求,不敷衍了事,养成一丝不苟的良好学风。
一、从平面概念理解入手、培养提升空间观念
1.从我们熟悉的事例入手:桌面、黑板面、平静的水面,都给我们以“平面的局部形象”,揭示平面的本质:无限延展、无大小、不可度量;无厚薄之分。
2.借助平几,运用对比、引伸入手:平面图形是有大小、可度量的;而空间中的平面具有无限延展的特征,可借助平面中的直线来加深印象。
3.通过画图加深理解:(1)平面可借助“平行四边形、三角形、梯形、园”等来表示,但当平面水平放置时,就只能借助平行四边形,且锐角要画成450,横边是邻边的2倍。(2)对两相交平面的画法,注意三线(表示两平面的平行四边形相交的两边、两平面的交线)是画图的关键,强调:在几体几何中,看的见画实线,看不见画虚线或不画的原则。注意作图过程中的变式与拓展。
4.通过动手比划、启迪空间观念:
问题:一个平面将空间分成2部分;两个平面将空间分成3或4部分;、叁个平面呢?
解决方案:利用书或本子,按位置关系先分类,再按交线之间的关系,不难得到答案:4、6、7、8几种结果。最后,将各种情况下的图形画出。通过此题的解答,无论是对逻辑思维能力的培养与提高,还是对立体图形的画法及空间想象能力的形成都大有裨益。
5.寓情于景:即读问题想实物,如:说到长方体,你就想到教室,这也不失为一种好的空间观念建立的训练。
二、从“三种语言”的相互转化入手,达到融会贯通
文字语言、图形语言、符号语言的互译,可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径、有利于我们理解能力、识图水平、联想广度的培养与提升。
文字语言:它比较自然、生动,能将问题所研究的对象含义明白、清楚地表述出来,具有高度概括、抽象的功能。
图形语言:它能将问题的条件、结论、定理的本质及相互联系,形象直观地表达出来,对问题的解决起着导向和桥梁作用,给人明白、清晰的印象。
符号语言:它具体简洁、逻辑强的特征。
因此,加强三种语言的互化训练,能够将问题中的隐蔽条件找出,形成整体认识,有利于恰当运用所学概念、定理与公理,进行合理的论证与计算,使问题得以圆满解决,达到融与贯的目标。
三、适当练习、螺旋提升
在初步接触了立体几何的平面、公理及三个推论后,进行适当的有梯度的练习,才会在练习中深化理解,逐步掌握,发现错误,及时更正,最终达到熟练、思维敏捷的目标。如:一条直线不在平面内,它包含几种类型,还有哪些等价说法,图形如何画,符号语言又是什么?在证明中,公理3的推论1、推论2.存在性都是采用“不在同一直线上的三点,确定一个平面”,但对于推论3,就不能用三点确定一个平面,找出原因,加深理解,这对问题的深入理解是大有帮助的。又如:空间图形在平面内的表示方法:其一、要弄清“斜二测”的关键与含义:关键是掌握水平放置的空间图形的底面图形的直观图画法;“斜”是指直观图中的坐标轴x、y轴的夹角为450,“二测”是指“纵减半,横不变”,而“平行性不改变”。其二:是动手画好“立方体、三棱锥”,每画一步、叙述好画法。这有利于对空间图形的辨识,是培养空间想象能力的重要组成部分。
四、类比感悟、区分异同
对立体几何的学习要从图形、语言、概念及定理三方面进行对比,感悟,促进思维能力由“平面”过渡到“空间”。
1.图形:通过识图和画图培养自己的空间想象能力。掌握正确的观察方法、分析方法在解题中起着关键。如:三垂线定理的应用。
例:在四面体A-BCD中,若点A在面BCD内的射影为△BCD的垂心,则:点B在面ACD内的射形为△ACD的垂心。
证明:作AO⊥平面BCD垂足为O,则DO为AD在平面BCD内的射形。
∵O为△BCD的垂心
∴DO⊥BC→BC⊥AD
同理:AB⊥CD、BC⊥AD
又作BO′⊥平面ACD垂足为O′,则CO′为BC在平面ACD内的射影。
∵AD⊥BC→AD⊥O′C
同理:CD⊥AO′、AC⊥DO′
即:O′为△ACD的垂心
说明:(1)恰当地选择平面及该平面的垂线,是定理应用的关键;
(2)抓住定理中的“一面、三垂直”的具体位置,非水平放置时图形的识别。
其次正确画出常见立体图形的直观图,关键是掌握领会“斜二测画图法”。原理及虚、实线的应用、增强图形的立体效果。再次,养成动脑、动手多比划的习惯,如:空间中的异面直线位置关系、线在平面外、平行线的传递性等。
2.符号语言:很多问题能够一看就清楚、一想就明白,但要落在纸上,就不像样了。只要记住:几何语言要言之有理、言之有据、体现层次。
3.定义、定理的“沿袭”与“拓展”:从二维平面过渡到三维空间时,抓住其特征,形成对比,加深对“空间图形”的理解、促进空间想象能力的形成。
如:(1)在平面:一线将平面分成两部分;在空间:一个平面把空间分成两部分;
(2)在平面:两线垂直必有交点;在空间:两线垂直不一定有交点;
(3)向量:空间中三向量共面沿用平面向量基本定理;空间中三向量不共面则以它为基底表示任意向量。
(4)转化思想:立体几何问题→转化为平面问题(空间中线线、线面、面面角归结为△中求解)。