彩虹期权的有限元定价方法

论文摘要

期权作为一种衍生工具,具有通用性强的优点,可以应用于多种投资策略。期权可以分散风险,有助于增强金融市场整体抗风险能力,增强金融体系的稳定性。正是由于国内期权期货市场的不断创新和发展,加强对期权市场的研究对于完善资本市场业务尤为重要。随着金融市场的快速发展和期权数量的不断增加,期权定价理论也在不断完善。20世纪70年代,布莱克-斯科尔斯期权定价公式诞生以来,学者们对期权定价公式的研究成果大大增加。这些期权包括欧式期权、亚式期权、美式期权等等。近年来,国际金融市场出现了大量的新品种、奇异期权和标准期权衍生品。多资产期权是其中之一。例如,彩虹期权、一篮子期权等等都是这样的多资产期权。我们推导出N种资产的欧式彩虹期权定价模型并研究其解析解、数值解。期权交易是基于期货交易的一种全新的衍生产品和有效的风险管理工具。期权具有独特的经济功能和较高的投资价值。一是因为期权更有利于现场交易业务和风险对冲。通过购买期权,交易者可以避免在期货交易中追加保证金的风险。二是有利于发展有序农业,解决“三农”问题。政府引导和鼓励农民进入期权市场,向他们提供关于期权保证金和交易产生的手续费的财政补贴。第三,期货投资者可以利用期权规避市场风险。期权可以是期货“再保险”的手段。两者的不同组合可以构成多种具有不同风险偏好的交易策略,为投资者提供更多的交易选择。彩虹期权最早由Margrabe于1978年提出,是一种涉及多种风险资产的期权,其目的是从多种资产投资中获得最佳的收益。在假设两种资产的价格遵循相关的对数正态分布过程的前提下,Margrabe推导出了一个交换期权定价的精确解。由于对数正态分布过程的线性组合不再是对数正态分布过程,因此只有当双资产选项的敲定价为零时,我们才能将相关的对数正态分布过程的维数减少到一维。1987年,Johnson将Stulz在1982年提出的双资产彩虹期权定价公式推广到一般的多种资产的情况。Rubinstein在风险中性假设下推导出彩虹期权定价公式,该公式依赖于标的资产的最低或最高价格。Hucki和kolokoltsov利用博弈论研究了具有固定交易成本的彩虹期权定价问题。Meng等人提出了一种基于正弦级数展开的彩虹期权定价方法。Dockendorf等采用随机协调模型研究欧洲彩虹期权的定价问题。彩虹期权不同于传统的美式和欧式期权,因为它们是对冲多重资产风险的优秀工具。彩虹期权最常用来评估自然资源,因为它们同时依赖于自然资源的价格和库存数量。彩虹期权分为三类:择优期权、利差期权、极大看涨期权和极小看涨期权。我们尝试用数值方法对欧式彩虹期权进行定价研究。期权定价是一个古老的问题。早在1900年的时候,Louis Bachelier就发表了论文《投机交易理论》。它被公认为是现代金融的一个里程碑。在他的论文中首次采用随机游走模型给出了股票价格运行的随机模型。在那篇论文中,他提到了期权的定价问题。1964年,诺贝尔经济学奖得主Paul Samuelson对Louis Bachelier的模型进行了修正。用股票的回报代替原模型中的股票价格。如果St表示股票价格,那么dSt/St表示股票的回报。由P.Samuelson提出的随机微分方程修正了原模型中使股价为负的不合理情况。基于该模型,P.Samuelson还研究了看涨期权的定价。假设N是期权的价值,S是股票价格,K是执行价,T是到期日,那么V的价值和αc,αs有关,它们分别是原始资产St以及期权价格Vt在t=T时的回报数学期望值。这两个数量取决于投资者的个人偏好。因此,尽管这个公式很漂亮,但不能在实际交易中使用。1973年,Fishcher Black和Myron Sholes建立了看涨期权的定价公式。公式中αc,αs没有出现,取而代之的是无风险利率r。这个公式的创新之处在于它不依赖于投资者的偏好。它将所有投资者引向一个以无风险利率作为回报的风险中性的世界。Black-Scholes模型建立在与真实市场相差较大的理想市场基础上,近二十多年来,经济学家们试图在放松这些条件的情况下,寻求更贴切实际市场的期权定价模型,取得了许多优秀成果,极大地丰富了期权定价理论。90年代以来特别是近几年,很多经济学家对不完整市场、标的资产的价格存在异常变动跳跃或者标的资产收益率的方差不为常数等情况下的期权定价问题进行了广泛研究,取得了许多重要研究成果。其中最值得一提的就是极大地丰富了期权定价模型方面的相关理论,在经典的Black-Scholes模型基础上,提出了许多新的模型。期权定价理论从Black-Scholes模型出发,已有近40年的历史。随着现代金融市场的发展,股票、债券、外汇和期货市场衍生了许多复杂的期权产品。在市场发展过程中,标的资产的期权产品在收益率和价格上也发生了变化,其定价问题一直是金融数学的核心问题之一。期权定价的数值方法分为五类:解析解法、树方法、偏微分方程数值方法、蒙特卡罗方法和傅里叶变换方法。（1）解析解法根据已知的随机微分方程（SDE）模型,求解该随机过程的函数表达式。如果我们能找到这个SDE的解析解,那么欧式无路径依赖期权的价格就是最终时刻价值的贴现期望值。这是对期权定价的一种解析解方法。这种方法的优点是显而易见的,一旦解析解存在,那么期权价格公式的计算速度非常快,拟合和优化也是高效高质的。这种方法的缺陷是显而易见的,那就是,对于大多数的模型和奇异期权来说,不存在解析解。（2）树方法如果已知目标资产的波动性,然后就可以构造一个N段上下波动的二叉树。然后用逆向归纳法得到初始时刻的期权价格。树模型的优点是任何连续时间模型都不能替代它。即每一种期权的定价问题,无论美式期权、欧式期权、奇异期权还是路径依赖期权,通过树模型的逆向归纳原则,价格总是伴随着明确的套期保值策略。在连续时间模型中,连续时间套期策略问题是一个倒向随机微分方程问题（BSDE）。另一方面,树模型的缺点也很明显。高维问题无法利用树模型求解。因此,对于多风险资产的期权定价问题,尤其是具有相关系数的多种风险资产,我们只能求助于PDE模型。（3）PDE方法事实上,不同的随机模型对应着不同的偏微分方程（PDE）。Black-Scholes偏微分方程只是一个符合几何布朗运动随机模型的单个资产的PDE表达式。对于期权,我们通常知道其在最终到期日的收益函数,因此我们使用收益函数作为PDE的终值。如果PDE有解析解,那么最优解也是解析解。然而,如果解析解不存在,我们必须求助于数值方法。PDE方法的缺点主要有两个方面:路径依赖和高维问题难度大的缺点。路径相关问题的PDE形式很多都是很麻烦甚至难以描述的,如果PDE的数值方法从平面网格上升到空间网格,不仅形式上复杂,而且在边值条件上也更难以控制。（4）蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法是目前应用最广泛的方法。因为没有提前实施属性的的期权价格实际上是一个数学期望,所以我们可以模拟期权的多条路径,用平均值来估计实际期权价格的期望值。对于具有提前实施属性的美式期权或百慕大式期权,其期权价格实际上是一个随机优化问题。然而,蒙特卡罗的缺点也是显而易见的:因为我们需要模拟数以百万计的路径,对奇异期权进行路径计算,美式期权则需要做更多的回归。蒙特卡罗方法已经成为长计算时间的代表。（5）傅里叶方法傅里叶方法也称为特征函数法。对于许多模型,它们的特征函数通常是显式表示的。利用傅里叶反变换得到原始随机变量的密度分布函数,从而达到求解期权价格的目的。本文推导了一种欧式彩虹期权定价的数值方法,这种期权基于两种风险资产。部分彩虹期权也可分解为风险资产和交换期权的组合。假设风险资产满足对数正态分布的随机过程模型。基于无套利原理、随机微分方程和Black-Scholes模型,得到了两种风险资产的彩虹期权定价的偏微分方程。分别将连续和不连续的Galerkin离散化有限元方法应用于利差期权、择好期权和极大看涨期权。对定价模型的有限元法进行了误差分析,并通过数值算例验证了该方法的合理性和有效性。

论文目录

Abstract （In Chinese）

Abstract （In English）

Chapter 1 Introduction

1.1 Motivation and background

1.2 Option pricing method

1.3 Structure of the thesis

Chapter 2 Introduction to options and Black-Scholes option pricing model

2.1 Option and its nature

2.1.1 Definition of options

2.1.2 Classification of options

2.1.3 Price of options

2.2 Black-Scholes option pricing model

2.3 Summary

Chapter 3 Rainbow options and pricing model

3.1 Black-Scholes pricing model for multi-asset options

3.2 Outer performance options

3.3 Better-of options

3.4 Maximum call options

3.5 Summary

Chapter 4 Finite element methods

4.1 Pricing problem for outer performance options

4.2 Pricing problem for better-of options

4.3 Pricing problem for maximum call options

4.4 Numerical experiments

4.5 Summary

Conclusions （In English）

Conclusions （In Chinese）

References

Acknowledgements

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 金宵

导师: 李景治

关键词: 彩虹期权,模型,有限元方法

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学,经济与管理科学

专业: 数学,数学,金融,证券,投资,投资

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: F830.9;O241.82

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.004948

总页数: 65

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