一类带有扩散项的p-Laplace方程无穷多解和基态解的存在性

论文摘要

p-Laplace方程是一类非常重要的非线性方程,它在数学物理学的许多分支中都扮演着重要的作用.许多非线性物理现象都可以用p-Laplace问题来描述,比如非线性扩散和过滤,非牛顿流体,弹塑性扭转蠕变,多孔介质中的流动等问题,因此,研究这类问题具有实际意义和应用价值.本文主要研究了一类带有扩散项的p-Laplace方程无穷多解和基态解的存在性,采用的方法是变量替换,截断技巧,山路定理以及Moser迭代理论等变分方法.本文分为三章.第一章,主要介绍研究背景和国内外研究状况,并给出本文研究内容.第二章,考虑如下带有扩散项的p-Laplace方程其中△pu=div（|▽u|p-2▽u）,N≥ 3,α ∈[2,N),p ∈[α,N),Ω（?）RN是有界光滑区域.非线性项f∈C（Ω×R）且满足如下条件:（f1）存在常数δ1>0,使得当|t| ≤δ1时,对所有的x ∈Ω,都有f（x,-t）=-f（x,t）;（f2）存在常数δ2>0,r ∈（1,2）,使得当|t| ≤δ2时,对所有的x∈Ω,都有|f（x,t）|≤|t|r-1;（f3）limt→0f（x,t）/|t|p-2t=∞ 关于 x∈Ω是一致的.本章将通过截断技巧和Moser迭代理论来证明问题（0.1）具有无穷多解.首先,通过变量替换和截断技巧将工作空间转化到w01,p（Ω）上;再者,利用Moser迭代理论证明了vn∈L∞（Ω）且|vn|∞→0;最后,证明了问题（0.1）具有无穷多解.我们的主要结果如下:定理2.1.1.假设（f1）-（f3）成立,则问题（0.1）在w01,p（Ω）中有非平凡的弱解序列{un},而且满足un→0,J（un）≤0.第三章,考虑如下带有扩散项的p-Laplace方程其中N≥ 3,α ∈[2,N),p ∈[α,N),V ∈ C（RN）,f∈C（R）.我们假设势函数V和非线性项f满足下列条件:（V）V∈C（RN）,且关于xi,i=1,...,N,是以1为周期的,同时存在常数V0>0,使得对所有的x ∈R,都有V（x）≥V0;（f1）存在常数C0>0,r ∈（αp,αp*）,使得|f（t）|≤C0（1+|t|r-1）,t ∈ R,其中 p*=Np（N-p）;（f2）limt→0 f（t）/|t|p-2 t=0;（f3）limt→∞F（t）/|t|αp=∞,其中F（t）=∫0t f（s）ds,t ∈ R;（f4）t →f（t）/|t|αp-2t是正的,且在（-∞,0）上递减,在（0,∞）上递增.在这一章中,我们目的是证明问题（0.2）在Nehari流形上基态解的存在性.由于在假设条件中,我们无法确定Nehari流形的C1正则性,因此问题变得相对困难.为了克服困难,我们利用山路引理,说明了 Cerami序列的存在性,通过证明c=c1以及c1是可达的,从而说明能量泛函在Nehari流形上的最小值是可达的.我们的主要结果如下:定理3.1.1假设条件（V）,（f1）-（f4）成立,则问题（0.2）至少有一个基态解w ∈ M且满足I（w）=infMI.

论文目录

中文摘要

Abstract

主要符号说明

第一章绪论

第二章一类带有扩散项的p-Laplace方程无穷多解的存在性

§2.1 问题及主要结果

§2.2 准备知识

§2.3 主要结果的证明

第三章一类带有扩散项的p-Laplace方程基态解的存在性

§3.1 问题及主要结果

§3.2 准备知识

§3.3 主要结果的证明

结束语

参考文献

研究成果

致谢

个人简况及联系方式

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 景新鹏

导师: 李福义

关键词: 方程,扩散项,迭代理论,无穷多解,基态解

来源: 山西大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山西大学

分类号: O175

DOI: 10.27284/d.cnki.gsxiu.2019.001504

总页数: 45

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一类带有扩散项的p-Laplace方程无穷多解和基态解的存在性

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