论文摘要
非线性系统尤其是强非线性系统的高精度定量求解技术是非线性科学研究中的共性科学问题,同时也是目前亟待解决的关键难题之一。现存的绝大部分数值方法由于不具备封闭性质导致难以针对强非线性问题建立一套统一的定量求解格式,往往需根据具体问题辅以特别的处理技巧。针对这一缺陷,近年来本研究小组原创性地提出了非线性问题的小波封闭解法,实现了弱强非线性问题的统一求解。然而现有小波封闭解法只能高效适用于非常规则的问题域,即一维域、二维矩形域和三维立方体域,这严重限制了该方法的适用范围。同时,这一小波封闭算法只允许采用全域均匀的节点布置,这在具有局部大梯度问题的求解中往往是难以接受。事实上,复杂区域与局部大梯度问题的高效处理也是目前计算力学领域的热点与难点问题之一。典型地如有限单元法,当问题的研究区域高度复杂或解在局部存在陡峭的梯度时,要生成一组可用的高质量网格将会是一件非常繁琐耗时的工作,而且往往难以自动生成,需专业技术人员全程干预。虽然无网格法可以避免网格生成的难题,但其自身将会带来新的问题,如计算效率低下,使用了对计算精度影响显著但又缺乏定量确定理论的人为参数。针对上述问题,本博士学位论文通过第二代小波建立了可逼近定义在任意二维区域上的连续函数的插值格式,并且该小波插值格式允许进行任意局部节点加密。在此基础上结合本研究小组之前所建立的非线性问题小波封闭算法,提出了一套可适用于任意问题域且允许任意细化局部节点分布的非线性问题的小波多分辨封闭解法,并在此基础上进一步建立了对应的自适应求解格式。同时,通过理论分析与数值实验系统地研究了这一方法的求解精度、计算效率、收敛性与稳定性,并应用这一自适应小波封闭算法定量研究了若干典型的力学和物理问题。首先,本文从第二代插值小波出发,基于多分辨分析创造性的给出了任意二维区域上连续函数的逼近格式,该小波逼近格式不仅仍具有插值性还可以进行局部节点加密。随后从理论上严格推导了利用该逼近格式逼近原函数及其导数的误差估计;并根据尺度函数的基本性质,详细地介绍了形函数的导数、积分和连接系数等精确求解过程,这为逼近原函数和后面微分方程的小波求解提供了数值基础;且通过一些数值算例校验了上述的误差分析且验证了程序的正确性。其次,将第二章中介绍地逼小波近格式与Galerkin法相结合,在本小组已有的工作基础上,提出了一套适用于强非线性椭圆型微分方程的局部增强小波封闭算法。我们利用该统一格式研究了对流扩散方程、Bratu方程和L形区域奇异性问题等。采用γ阶的形函数进行求解,若问题的解是光滑的,则无论是线性还是非线性问题,当前小波封闭解法都将具有γ阶收敛速度;特别当γ=6时,Bratu方程数值结果将明显好于现有的诸多数值算法。而若精确解具有奇异性,近似解的收敛速度将受限于精确解的光滑性,值得注意的是,在相同网格布置下,甚至会出现γ越小,计算精度越好的情形。随后,为了讨论局部节点加密的有效性,对若干具有局部剧变或奇异性问题中的大梯度区域进行局部节点加密。数值结果表明,在保证计算精度的前提下,局部细化可极大地减少布点数目。同时为了估计求解最终代数方程组所需花费的计算量,我们对比了不同γ下的系数矩阵的稀疏性,γ越小,矩阵稀疏性将越好。继而我们将算法推广到线弹性力学问题中,并给出了线弹性力学问题的小波统一求解格式,通过中心圆孔板,L形板和中心裂纹等几个经典力学算例再次验证了局部增强小波算法的高效性,且我们得到的应变能将是实际应变能的上限。进一步,基于小波系数反映的是未知函数在该点处的光滑程度,本文构造了未知函数的小波最佳逼近格式。直接逼近L形区域内的具有局部奇异性函数时,取γ=6,仅需371个不规则节点便得到了与28033个均匀节点相同的数值结果,此时最佳逼近格式效果明显。随后基于最佳逼近格式,提出了一种针对椭圆型问题的小波自适应算法,并运用该小波自适应格式求解了几个具有局部大梯度或奇异性问题。对于局部奇异性问题,取γ=6,我们需要均匀布置39042个点方可达到3.98E-03精度,而在自适应格式下,仅需621个点便能达到如此精度。随即,将自适应格式推广到固体力学之中,也得到了令人满意的结果。通过与规则布置节点的数值结果对比发现:自适应算法可以准确的捕捉到问题的局部大梯度或奇异性所在位置;并可实现在该局部区域进行局部增强;且可通过阈值来控制最终求解精度;在保证最大误差范数的前提下,自适应算法将会显著降低整个域内的节点数目。最后,我们针对非线性初边值问题,运用局部增强小波格式进行空间离散,得到了初边值问题的半离散格式,继而利用隐式-显式混合格式或者Runge-Kutta求解初值问题。分别给出了 Burgers方程,KDV方程,非线性Schr?dinger方程和非线性Klein-Gordon方程的统一求解格式;并证明了本算法具有守恒性质。通过数值算例可以发现本文的小波封闭算法可以简单、高效地处理任意非线性问题,空间收敛速度都能保持在6阶左右,计算精度也高于现有多种数值方法。说明了本文的小波封闭算法对于非线性项并不敏感。且能准确的捕捉到激波、孤立波的运动;并模拟了多种孤立波相互作用的整个过程,甚至是爆破解。
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 王加群
导师: 周又和
关键词: 微分方程,第二代小波,封闭性,统一求解格式,多分辨分析,局部加密,任意区域,插值性,非线性,计算精度,收敛速度,奇异性,自适应,弹性力学,应力集中,动力学,无网格,孤立波,守恒,碰撞
来源: 兰州大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学,数学,力学
单位: 兰州大学
分类号: O241.8;O302
DOI: 10.27204/d.cnki.glzhu.2019.000088
总页数: 232
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标签：微分方程论文; 第二代小波论文; 封闭性论文; 统一求解格式论文; 多分辨分析论文; 局部加密论文; 任意区域论文; 插值性论文; 非线性论文; 计算精度论文; 收敛速度论文; 奇异性论文; 自适应论文; 弹性力学论文; 应力集中论文; 动力学论文; 无网格论文; 孤立波论文; 守恒论文; 碰撞论文;