带对数非线性项的椭圆型方程的非平凡解

论文摘要

本文利用变分方法研究了两类带对数非线性项的椭圆型方程非平凡解的存在性与多重性.首先,研究了一类带有变号对数非线性项的P-Laplace方程解的多重性.其次,研究了一类带有对数非线性项的双调和方程解的存在性.主要理论依据是极小化序列的方法,对数Sobolev不等式,环绕定理以及一些分析技巧.第二章讨论了如下带有变号对数非线性项的p-Laplace方程其中Ω是RN中的光滑有界区域,λ>0,Δpu=div（|▽u|p-2▽u）,p∈（1,N）,f:Ω→R.本章主要结果如下定理2.1.1.设f∈C（Ω）且在Ω上是变号的,λ>0满足‖f‖∞e p2λ/N‖f‖∞<r2/NLpe1-2pΩ|N/Ne,则问题（P1）至少有两个非平凡解,其中|Ω|N是Ω在RN中的测度,Lp=p/N（p-1/e）p-1 π-p/2[Γ（N/2+1）/Γ（Np-1/p +1）]p/N,第三章研究了如下带有对数非线性项的双调和方程其中Δ2是双调和算子,Ω是RN中的光滑有界区域.设d<λ1,λ1是在H01（Ω）中的主特征值,f（x,u）满足下列条件:（f1）f∈C（Ω×R,R）;（f2）存在C1>0,r0>0,使得当x∈Ω,|u|≤r0时,|f（x,u）|≤C1|u|;（f3）存在b+,b-∈R,使得 lim u→±∞ f（x,u）/u=b±,（?）x∈Ω;（f4）存在L ∈ L1（Ω）,使得H（x,u）≥L（x）,lim|u|→∞ H（x,u）=+∞,a.e.x∈Ω,其中H（x,u）=1/2f（x,u）u-F（x,u）and F（x,u）=∫0 u f（x,s）ds.本章主要结果如下定理3.1.1.设f满足（f1）-（f4）且存在k∈N使得λk+1（λk+1-d）<b±.若存在m ∈N,m≤k且对于仁义的x∈Ω使得F（x,u）≥1/2λm（λm-d）u2,limn→0 F（x,u）/u2<1/2λm-1（λm-1-d）,则问题（P2）至少有一个非平凡解.全文结构如下第一章介绍了变分法的基本思想以及近年来利用变分法研究p-Laplace方程和双调和方程的新进展.陈述了本文的研究工作以及得到的主要结论.第二章给出了证明带有变号对数非线性项的p-Laplace方程解的多重性所需要的基本知识以及主要结论的证明过程.第三章给出了证明带有对数非线性项的双调和方程解的存在性所需要的基本知识以及主要结论的证明过程。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 贾文艳

导师: 王淑丽

关键词: 变分法,对数非线性项,对数不等式,环绕定理,非平凡解

来源: 太原理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 太原理工大学

分类号: O175.25

总页数: 38

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