求解一阶常微分方程的变系数指数拟合Rosenbrock方法

论文摘要

在化学反应、热核反应、航空工程以及其他重要工程研究领域中,许多数学模型的解具有周期性、振荡性或者较明显的指数形态,通常由刚性常微分方程初值问题模拟。这些刚性系统的解难以解析求解,需要利用适宜数值方法进行数值模拟。同时,与系统解的性质密切相关的某些参数,如振荡的频率、周期等,有时可根据实际问题提前预估。因此,合理利用这些参数,从而构造出适宜求解具有此类型解的模型的数值方法是非常有必要的。函数拟合方法正是利用了这些参数,根据方程解的形式事先选取合适的基函数,令数值方法对其精确积分,从而得到具体的拟合方法。对于解为振荡型或具有指数形态的问题,构造指数拟合方法,即将函数拟合方法中基函数取为{eλt,e-λt},λ∈C,则可以更好地逼近系统的解。现有相关研究成果主要集中在指数拟合Runge-Kutta方法、指数拟合多步方法和指数拟合块方法等,鲜见指数拟合Rosenbrock方法。Rosenbrock方法作为一类显式方法,既具有易实现且计算量少的特点,又保留了对角隐式Runge-Kutta方法的良好稳定性,适宜求解刚性微分方程。目前,有学者将指数拟合方法与Rosenbrock方法相结合,构造了定系数的指数拟合Rosenbrock方法,但未合理利用系统解的性质。本文将充分利用表征微分方程系统解的性质的参数,构造变系数的指数拟合Rosenbrock方法,使得该方法能有针对性地求解具有不同参数的微分方程模型。第一章中,介绍了常微分方程初值问题研究背景,并且给出了函数拟合方法和Rosenbrock方法的研究现状。第二章中,给出了函数拟合Rosenbrock方法的定义以及存在唯一性定理,且说明了当选取的基函数可分离时,函数拟合Rosenbrock方法的系数与t无关。第三章中,将函数拟合Rosenbrock方法的基函数取为{eλt,e-λt},λ∈C,得到了Rosenbrock方法的指数拟合条件。然后结合阶条件得到了一类二级二阶变系数指数拟合Rosenbrock方法,以及一类三级三阶变系数指数拟合Rosenbrock方法。最后,又分析了变系数指数拟合Rosenbrock方法的线性稳定性。第四章中,通过具体数值算例对比分析四种方法的计算时间和计算精度,验证了变系数指数拟合Rosenbrock方法的优势。最后一章中,对本文所做工作做一个总结,然后结合本文内容给出了一些具有参考性的研究方向。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 张莹

导师: 覃婷婷

关键词: 一阶常微分方程,函数拟合,指数拟合,变系数方法

来源: 华中科技大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 华中科技大学

基金: 国家自然科学基金(No.11201162),中央高校基本科研业务费专项资金(HUST:2014QN078,2016YXMS009)

分类号: O175

DOI: 10.27157/d.cnki.ghzku.2019.000805

总页数: 60

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