摘要：问题转化是数学中常用的思想方法。问题转化思想在微积分教学中的应用很多，包括极限的数学定义、微分中值定理、洛比达法则、定积分以及微分方程等。转化的形式是将一个问题转化为另一个问题，转化的原则是由繁到简，由难到易，直至问题解决。
关键词：问题转化；微积分；极限；微分中值定理；定积分
中图分类号：G424.1文献标识码：A文章编号：1004-633X（2011）05-0038-02
微积分是高等数学的主要内容，是一般非数学类专业大学生的重要基础课之一。关于学生学习该课程的作用在教育部高等学校“数学与统计学教学指导委员会”的《数学学科专业发展战略研究报告》[1]中指出了五个方面：提供必要的数学工具，学会数学方式的理性思维，领会数学文化，培养审美情操以及为终身学习打下基础。这是在现阶段对高等数学教育的指导性文件。其中的工具和基础作用是以往一直强调的，而数学思维以及文化和审美方面在过去并未受到足够的重视。我们认为：思维方式的培养应该以概念、理论等知识点为载体，教师在点点滴滴的教学中有意提升，使这项工作日常化，形成习惯。至于文化和审美方面的培养则需要更高理念的支持。
数学思维方式有很多形态，如归纳、类比、转化等等。其中问题转化是数学中最基本最常用的一种思维方式，它的基本思想为将一种形式的问题转化为另一种形式的问题，将较难的问题转化为简单的问题，从而实现问题解决。这里作者就问题转化思想在微积分教学中的应用谈谈个人的想法和做法。
1从极限的描述性定义到数学定义的转化
众所周知，极限是整个微积分的基础，它的定义在微积分各部分内容中都有应用。但很多学生在学到极限的数学定义时，无法将其与形象直观的描述性定义画等号，从而产生排斥心理。这种情况甚至影响了他们后继学习高等数学的兴趣。在教学中如何实现从极限的描述性定义（下面简称为A）到数学定义（下面简称为B）的转化是每个教师面临的一大考验。这里我们介绍一种分段转化的教学模式[2],即在A，B中间插入两种过渡形式A1，A2，下面是数列极限从描述性定义到数学定义的分段转化：
A：当n无限增大时，xn无限接近于a；
A1：可以任意小，只要n足够大；
A2：（为事先给定的一个正数，无论它多么小），只要n足够大；
B：对于任意给定的一个正数（无论它多么小），总存在正整数N，只要n>N，就有。
对于函数极限的定义，可类似进行分段转化：
A：当x无限接近于a时，无限接近于A；
A1：可以任意小，只要足够小；
A2：（为事先给定的一个正数，无论它多么小），只要足够小；
B：对于任意给定的一个正数（无论它多么小），总存在一个正数，只要，就有。
恰当地为难于理解的概念设置铺垫是教师在教学中发挥作用的主要方面。李大潜院士在文[3]中指出：教师“要遵循学生的认识规律，要设身处地的站在学生的角度来思考，不应该把自己的高观点直接加到学生身上。拔苗助长的做法只能影响学生打基础，不利于他们今后的成长。”教学实践表明，对极限定义的分段转化符合学生的认知规律，能够尽快实现学生对极限数学定义的认同，进而使学生在解决问题中自觉运用极限的思想方法。这种转化也为定性描述到定量定义提供了一种范例。
2四个微分中值定理的转化
作为一元函数微分学应用的基础，中值定理是微积分的核心内容之一。从罗尔定理，到拉格朗日中值定理，再到柯西定理，最后到泰勒中值定理[4],四个定理逐渐深入，层层递进，充分展现了一元可微函数的性质。但这里因为定理多，理论性强，学生在学习中感到吃力。在这一部分教师的作用就是将知识条理化，帮助学生由低级到高级，由简单到深入地理解和掌握这一块知识。
首先看罗尔定理，它告诉我们对于闭区间上连续、开区间内可导的函数，如果还满足两端点函数值相等，那么在区间内必存在一点，函数在该点的导数等于零，也就是在曲线上有一点处的切线平行于x轴。其次，罗尔定理可以推广为拉格朗日中值定理：去掉两端点函数值相等的条件，结论就是曲线上有一点处的切线平行于两端点的连线。而罗尔定理仅仅是拉格朗日中值定理的特殊情况。但是一般情形的导出又恰恰是通过将问题转化为特殊情形实现的。这里蕴含了重要的方法论价值。将拉格朗日中值定理中的曲线以参数方程表示，这可以得到第三个中值定理—柯西定理。并且拉格朗日中值定理还是柯西定理的特例。在问题形式不断转化的过程中，知识就这样一步步展开。最后是著名的泰勒中值定理。因为和泰勒级数的交融关系以及在工程技术中被高频使用，泰勒中值定理实际上是微积分中的一个重量级公式，尤其是在工程师们的眼里。这个定理因为涉及到高阶导数使得我们无法像前面一样给出直观的解释，但就是这个看起来十分繁琐冗长的结果却可以通过连续运用柯西定理推导出来。这正体现了自然界中的一个常见规律：简单问题叠加后将不再简单；复杂问题往往可以分解成若干简单问题。泰勒定理之精妙所在还在于将微分表达式中的线性主部推广到了任意次多项式，并且将高阶无穷小给出了具体表达式，使人们不仅能够对函数的近似表示有所选择，而且可对误差进行控制。可以说泰勒公式将微分中以直代曲的思想进行得完全彻底。再回头我们会发现，在泰勒定理中n=0时的特殊情况就转化成了拉格朗日中值定理。从而可以将朴素的拉格朗日中值定理蕴含于泰勒定理中。
中值定理的演化犹如人类社会的演化，时而平缓，时而急剧，但一直在起作用的恰恰是最基本的规律。通过教师的有效整合，可以将该部分的各知识点有机地串联起来，形成一个网络。既便于学生理解掌握，又承载了一定的思想方法，收到一举多得的效果。
3洛比达法则的使用
作为微分中值定理的应用范例之一是洛比达法则[5]，它是微积分中又一个十分经典的问题转化的案例。洛比达法则有多种形式，但核心都是求未定式的极限。在一定条件下两个无穷小（或无穷大）比值的极限等于它们分别求导后的比值的极限。这里需注意的是法则并没有告诉我们极限值是多少，只是将原来的比值极限转化为另一种形式的比值的极限。使用洛比达法则的前提之一是后者的极限易求出。我们只是通过这种转化将问题由繁化简、由难化易，直至最后解决。这里如果问题朝着相反的方向转化，那就要立即停止，另想它法。在教学中教师强调这种转化可以提醒学生进行积极有效地思维，并有意识地训练问题转化思想的运用。
4关于定积分的定义与性质
初学定积分的人会感觉其定义及其繁琐。为减轻初学者的心理压力，教师可以将冰冷的定义转化为通俗的语言。事实上，定积分蕴含了重要的变量求和思想，这种思想在科学研究和工程计算中十分常见。概括地讲定积分可以分为四步：①分割：将一个量分为若干个小量；②近似：对每个小量进行近似，这里的关键技术是用常量代替变量；③求和：将所有小量的近似值相加；④取极限：当分割无限加细时总量近似值的极限即为其精确值。
类似的事情在二重积分上发生了，仅仅是变量从一个发展到两个，问题的形式和解决的方式可以说是完全重复。那么三重积分的情况怎样呢？也只是再多一个变量而已。如此一来我们就通过这种升级转化实现了一重积分到二重积分、三重积分的过渡。不仅如此，对于两类曲线积分和两类曲面积分也可以继续沿用前面问题转化的思想，顺利引出相应的定义。至此，七类积分的全貌已现，而我们也可以重新归纳积分的本质，即是对可变量的求和。
除了定积分的定义，定积分还有七个著名的性质。由于这些性质的证明要用到定义，而定义形式又具有一致性，因而相应地产生了其他类型积分的性质。不过第二类曲线积分和第二类曲面积分的性质稍有不同，需加注意[6]。
5微分方程中的问题转化
解微分方程的目的是寻求方程的通解或特解，其中最原始的方法是积分。由于积分问题本身的难度，使得人们十分关注那些能够积出来的方程类型，而对于其他类型的微分方程只好试图通过问题转化化成已解决的类型，因而在这里转化的工作司空见惯。如齐次方程就是通过变量代换化为可分离变量的方程，甚至包括可化为齐次方程的方程类型。另外关于可化为一阶方程的二阶微分方程也总结了三种类型。
特别值得一提的是在解常系数线性微分方程时，我们引入了一个重要的代数方程—特征方程，将原问题的解的形态完全转化为相应的特征方程的根的情况。这种转化将微分方程问题转化为代数方程问题，这种跨领域的转化大大降低了问题的难度，成为问题转化领域的又一个经典案例。
6结束语
问题转化作为一种重要的思想方法它蕴含于许许多多的概念、定理和公式中，需要我们在教学中不断发现、整理，以充实教学实践。当然还有其他的思维方式也需要教师在教学实践中有意识地运用。大学数学作为一门公共基础课，不仅为学生后继课程的学习准备知识基础，更是培养新一代青年科学思维方法的良好素材。随着时间的流逝，具体的概念或公式可能记不清楚了，但是作为数学文化价值的科学思维方式，如果培养了，则会使学生终身受益[7]。
参考文献：
[1]教育部高等教育司.高等理工科专业发展战略研究报告[M].北京:高等教育出版社.2006:1-11.
[2]DonaldTrim.Calculus[M].Scarborough,Ontario:Prentice-HallCanadaInc.1993:82-83.
[3]李大潜.关于高等数学教学改革的一些客观思考，大学数学课程报告论坛论文集(2009).北京:高等教育出版社.2010:3-7.
[4]同济大学数学系.高等数学(第六版)(上册)[M].北京:高等教育出版社.2007:128-145.
[5]吴建成.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2005:153-157.
[6]同济大学数学系.高等数学(第六版)(下册)[M].北京:高等教育出版社.2007:185-228.
[7]郭思乐,喻纬.数学思维教育论[M].上海:上海教育出版社.1997:1-15.
*本文受到常州大学教学研究立项课题资助，课题编号：GJY10020034。
作者简介：郭淑娟（1964—），女，河南辉县市人，博士，副教授，主要从事高等数学的教学和研究等工作。
作者单位：常州大学数理学院，江苏常州市邮编213164