拓扑绝缘体和拓扑超导体中的对称性研究

论文摘要

近年来凝聚态物质系统地拓扑性质已经引起了广泛的兴趣。拓扑绝缘体作为新的物质态具有以下特点:材料的体内存在能隙并且材料的表面存在无能隙拓扑边缘态。拓扑超导体拥有完全的配对能隙,表明存在零能Majorana表面模。能隙态具有拓扑不变量,此拓扑不变量由波函数构成。一般说来,一个拓扑非平庸相不能绝热地变成拓扑平庸相,拓扑非平庸相在微扰下不受影响除非体内能隙闭合。在拓扑超导体中,作为自身的反粒子的Majorana费米子会出现在材料的缺陷上。Majorana费米子显示出非阿贝尔统计,对量子计算有潜在的应用。在拓扑超导体中出现Majorana费米子的信号,例如零偏压电导和分数约瑟芬孙效应（fractional Josephson effects）,可以在实验上被探测到。对于受全局对称性保护的拓扑相,一个对于任意维的完整的分类都可以得出。全局对称性包含时间反演对称性,粒子空穴对称性和手征对称性。除了全局对称性外,晶体对称性可以引起新的拓扑相。在晶体对称性中,镜面对称性和旋转对称性可以用来定义拓扑不变量。大量的工作集中到了对受晶体对称性保护的拓扑相进行分类上。一个著名的例子是拓扑绝缘体SnTe,在它的表面上存在偶数狄拉克锥的拓扑相,这类拓扑相以非零的镜面陈数为特征。因此晶体对称性对形成一类新的拓扑相起到关键作用。此篇论文所研究的正是拓扑绝缘体和拓扑超导体中的对称性及其相关的问题,它由以下几个方面组成:第一章我们介绍拓扑绝缘体和拓扑超导体的一些基础知识。拓扑绝缘体方面主要介绍量子反常霍尔效应（Haldane模型）和量子自旋霍尔效应（Kane-Mele模型）。Kane-Mele模型可以看做由两个互为时间反演的Haldane模型组成。拓扑超导体方面主要介绍在磁场下的有很强的自旋轨道耦合的并且靠近s波超导体的一维半导体和三维非中心对称的超导体。在三维非中心对称的超导体中,除了存在Majorana边缘态外,还存在涡旋Majorana态。第二章主要给出属于CⅡ类的一维拓扑绝缘体。本章第一节简短地介绍一维梯形拓扑绝缘体,特别是双梯形系统。在第二节我们提出一个属于CⅡ类的双链梯形模型并且研究其拓扑边缘态。在此模型中,自旋轨道耦合既存在于链内,也存在于链间。此拓扑相以偶数的拓扑不变量为特征。我们发现存在受时间反演对称性和手征对称性保护的四重简并态。在梯形的一端存在两个边缘态,它们在实空间中是不能被区分的。但在动量空间中这两个边缘态可以被分辨,其动量密度在实验上可以通过冷原子的time-of-flight探测到。动量空间的两个峰成了这两个边缘态的的信号。这些边缘态不遵守非阿贝尔统计,因为找不到一个么正操作同时交换左右的边缘态。这一点和通常的分数电荷费米子遵守非阿贝尔统计不同。运用普遍的门操作,量子信息在自旋qubit和Majorana费米子qubit之间传输。但是,我们的模型并不支持由孤立子qubit和量子点自旋qubit耦合形成的复合qubit的量子计算。在第三节我们采用了有效场论和数值计算研究了边缘态的分数电荷。单个边缘态携带半个电荷。在第四节我们提出了一个在光晶格中实现以上梯形模型的实验方案。当存在一个沿y轴方向的巨大势能阻碍,y轴方向上的自旋不变的跃迁将受到压制。自旋翻转的跃迁可以通过Raman激光场达到。第四节介绍了在x方向上施加磁场的情况。在此情况下,存在两个不同的拓扑相,在能隙中分别对应于四个简并的边缘态和两个简并的边缘态,属于AⅢ类。我们一样发现在这两个拓扑相中单个边缘态携带半个电荷。我们的工作补充了一维拓扑绝缘体研究的空白,揭示了与以前不同的拓扑边缘态,并且给出了 CⅡ类和AⅢ类的拓扑绝缘体的联系。第三章主要研究在二维超导体中晶态拓扑相及其边缘态。本章第一节介绍受晶体对称性保护的拓扑晶态绝缘体和拓扑晶态超导体。除了 Altland-Zirnbauer类的对称性外,还存在晶体对称性,包括镜面对称性,反演对称性和旋转对称性这一类点群对称性。晶体对称性对形成新的一类拓扑相起到关键作用。一个典型的拓扑晶态绝缘体的例子就是SnTe。在SnTe中镜面对称性的引入使得拓扑相可以用镜面Chern数来描述。第二节我们提出对二维时间反演不变超导体的拓扑分类。拓扑边缘态可以分为Majorana费米子和没有粒子空穴对称性的准粒子两类。第三节研究了在二维时间反演不变超导体中实现晶态拓扑相的可能性。四个不同的拓扑相及其相应的边缘态受镜面对称性和镜面反演对称性的保护。镜面反演对称性定义为镜面对称性和反演对称性的结合。属于AⅢ类的拓扑边缘模在镜面反演的子空间中以平的能谱分布形式出现,这是因为每个子空间中粒子空穴对称性破缺了。相反,Majorana边缘模在镜面子空间中出现。每个平面镜面反射子空间的Majorana边缘模可以由镜面对称不变线和镜面反演不变线的拓扑判定来分辨。为了单独理解镜面反演对称性在拓扑超导体中起到的作用,我们提出了另一个只含有镜面反演对称性的模型。在此模型中,镜面反演不变线中存在属于AⅢ类的AⅢ类的拓扑边缘模,Majorana边缘模不允许出现。因此,镜面对称性和镜面反演对称性的区别在于粒子空穴对称性是否存在于子空间。我们运用递归格林函数的方法计算了半无穷系统的动量局域态密度。第四节检查拓扑边缘态在随机微扰下的稳定性,因为动量局域态密度并不能充分说明系统的拓扑非平庸。事实上拓扑边缘态在随机微扰下是稳定的。第五节计算了在镜面子空间中的NS异质结的微分电导,我们运用了非平衡格林函数的方法。在零偏压下,整数倍的2e2/h的电导可以用来证实Majorana边缘模的存在。我们的工作对寻找新的拓扑晶态超导体的材料提供了方向。第四章将对称性的作用做了一个总结和展望,特别是晶体对称性对拓扑绝缘体和拓扑超导体的形成的关键性作用。

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摘要

ABSTRACT

第1章拓扑绝缘体和拓扑超导体的基础知识

1.1 拓扑绝缘体

1.1.1 反常量子霍尔效应

1.1.2 量子自旋霍尔效应

1.2 拓扑超导体

1.2.1 磁场下强自旋轨道耦合邻近s波超导体的一维半导体

1.2.2 三维非中心对称的超导体

1.3 拓扑量子计算

1.3.1 Majorana辫子和非阿贝尔统计

1.3.2 复合自旋-Majorana费米子qubits的量子计算

第2章一维梯形拓扑绝缘体

2.1 双梯形拓扑绝缘体

2.2 CⅡ类的双链梯形模型及其拓扑边缘态

2.2.1 CⅡ类的双链梯形模型

2.2.2 拓扑边缘态

2.3 边缘态的分数电荷

2.4 光晶格中梯形模型的实验方案

2.5 磁场下的AⅢ类模型

第3章二维超导体中晶态拓扑相及其边缘态

3.1 拓扑晶态绝缘体的基本理论

3.2 二维时间反演不变的拓扑晶态超导体的拓扑分类

3.2.1 受晶体对称性保护的Majorana边缘模

3.2.2 粒子空穴对称破缺下的拓扑边缘模

3.3 二维时间反演不变拓扑晶态超导体的模型

3.3.1 出现Majorana边缘模的模型

3.3.2 拓扑边缘模的性质

3.4 拓扑边缘态在随机微扰下的稳定性

3.5 镜面子空间中的NS异质结的微分电导

3.5.1 出现粒子空穴对称破缺下的拓扑边缘态的模型

3.5.2 小结

第4章总结与展望

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果

文章来源

类型: 博士论文

作者: 刘竹溪

导师: 王安民

关键词: 拓扑绝缘体,拓扑超导体,费米子,镜面数,晶体对称性

来源: 中国科学技术大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 物理学

单位: 中国科学技术大学

分类号: O469

DOI: 10.27517/d.cnki.gzkju.2019.000203

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