四川610000
摘要：本文从以上两点出发，对现有的响应面法进行了改进研究：采用具有较强非线性映射能力的径向基函数（RBF）神经网络代替原来的隐式功能函数；每次迭代过程中在超锥体的范围内构造RBF神经网络响应面。本文提出的改进方法可以明显加快收敛速度，减少每次迭代过程所需有限元分析的次数，有利于提高计算精度。
关键词：可靠度分析；响应面；RBF神经网络；隐式功能函数；岩土工
一、概述
由于岩土工程受力变形的机制复杂，难以采用解析的方法获得作用效应的显式解，且功能函数隐式且非线性程度高。可靠度分析中的常用方法如一次二阶矩和二次二阶矩以及优化方法等，只适用于显式的功能函数。针对这一问题，可以采用蒙特卡罗有限元法、随机有限元法或响应面法进行可靠度分析。蒙特卡罗有限元法结果准确，但计算量太大，特别是对于非线性问题。随机有限元法概念明确，计算量小，但不易编程实现，对非线性问题和基本变量变异系数大的情况，会产生较大的误差。响应面法的计算量小，且适用于线性、非线性问题，得到日益广泛的应用，如构造出原功能函数的响应面，进行边坡可靠度计算。张弥采用有限元与响应面法分析隧道结构荷载效应。利用响应面法和数值模拟分析地下岩体空间的可靠性。结合响应面方程、优化方法和蒙特卡罗技术，对围岩参数进行了随机反分析。响应面法是通过若干次有限元分析，逼近原来的隐式功能函数，然而岩土工程中非线性问题较多，每一次有限元分析都要耗费大量的机时。因此，在保证响应面法计算精度的前提下，应尽量减少有限元分析的次数，提高计算效率。达到此目标的途径有两个：（1）采用逼近能力更强的响应面函数来代替原功能函数，以减少可靠度分析中迭代的次数；（2）在每次迭代过程中，通过尽可能少的有限元分析来构造响应面。
二、基本原理
响应面法是统计学中的一种综合试验技术，用于处理复杂系统的输入（基本变量）和输出（系统响应）的映射关系问题。该方法用于隐式功能函数的可靠度计算时，先设计一系列变量值，每一组变量值构成一个试验点，然后逐点进行结构分析，获得相应的一系列功能函数值。通过这些变量值和功能函数值来构造一个明确的函数关系，以近似替代难以直接表达的真实功能函数，从而进行可靠度分析。响应面函数常用的形式有二次多项式、有理多项式、BP神经网络等。采用BP神经网络作为响应面近似函数可以从理论上解决响应面的精度问题，其具体步骤如下：
假定初始点X1=（x11，x21，…，xn1），一般取均值点；利用步骤②获得的2n+1个样本点训练BP网络，得到近似功能函数；用最优化方法求解验算点X*k及相应的可靠指标βk；
计算|βk-βk-1|＜ε是否满足，若条件满足，则输出β和X*，否则返回步骤②，以本步计算的验算点作为进行下一步迭代最优化求解的初始点，直到收敛为止。
将上述方法称为局部响应面法，设基本随机变量个数为n，则局部响应面法每一步迭代需进行2n+1次有限元分析，若经k步迭代收敛，则共需k（2n+1）次有限元分析。为了充分利用每步迭代的有限元分析结果，文献[7]将局部响应面的步骤③修改为，用以上k步所得k（2n+1）个样本点训练BP网络，并称其为全局响应面。文献[7]进一步改进了全局响应面，即在进行第②步以后的迭代时，不增加2n+1个样本点，只增加本步所得验算点，也就是将局部响应面的步骤③改为利用以上k步所得2n+k个样本点训练BP网络。
三、响应面法的改进研究
1、RBF神经网络
虽然采用BP网络逼近响应面函数可以从理论上解决响应面的精度问题，但BP网络存在收敛速度慢和局部极小等固有缺陷。已经证明，RBF网络和BP网络都能够以任意精度逼近任意连续函数，但RBF网络在函数逼近能力、学习速度等方面均优于BP网络，且具有较好的泛化能力，故本文采用RBF网络逼近非线性程度较高的隐式功能函数。RBF网络是由输入层、隐含层和输出层构成的3层前向型神经网络，如图1所示。隐含层采用径向基函数作为激励函数，输出层的激励函数为纯线性函数。径向基函数一般为高斯函数：
式中：x为m维输入向量；cj和σj为隐含层第j个单元的径向基函数的中心和宽度；p为隐含层神经元个数。
从图1可以看出，输入层实现从x到Rj（x）的非线性映射，输出层实现从Rj（x）到yk的线性映射，即
式中：yk为第k个输出神经元的输出；n为输出节点数。
RBF网络的训练过程分为两步：第一步为无教师式学习，根据所有的输入样本决定隐含层各神经元的参数cj和σj，确定输入层和隐含层间的权值wij1。第二步为有教师式学习，利用样本和最小二乘原则，确定隐含层与输出层间的权值wjk2。
2、样本点的选择
改进全局响应面的第1步迭代需要2n+1个样本点，以后每步迭代都新增样本点1个。事实上，若初始迭代点选为均值点，改进全局响应面的第一步迭代并不需要在包含均值点的一个完整超棱体范围内构造响应面，这是因为最终的验算点只是位于某一个方向上，响应面方法是通过迭代计算，逐步逼近正确的验算点直到最终收敛，所以，在迭代的第1步只需要在均值点周围用一个超锥体构造响应面，就能够覆盖存在验算点的所有可能方向，并使迭代点朝验算点收敛。本文取如下n+2个样本点，构造超锥体范围内的响应面：（Mu11，…，Mui1-fσi，…，Mun1），以及（Mu11+fσ1，Mu21+fσ2，…，Mun1+fσn）和（Mu11，Mu21，…，Mun1），Mui为随机变量xi的均值。
3、改进方法
改进方法的基本过程仍遵循文献[7]的改进全局响应面，不同之处在于用RBF网络替换BP网络构造响应面，第一步迭代时用超锥体替换超棱体的样本点布置构造响应面，其计算步骤只需将局部响应面的步骤②改为计算功能函数g（x11，x21，…，xn1）以及g（x11，…，xi1-fσi，…，xn1）和g（x11+fσ1，x21+fσ2，…，xn1+fσn）得到n+2个样本点，f在第一步取3，以后各步取1；将局部响应面的步骤③改为，利用以上k步所得的n+k+1个样本点训练RBF网络。本文改进方法的第一步迭代需n+2次有限元分析，其后每步只需1次有限元分析，若k步收敛共需n+k+1次有限元分析，收敛条件为|βk-βk-1|<0.001。
结束语
RBF神经网络具有较强的非线性映射能力，其性能优于目前常用的BP神经网络，非常适合在响应面法中真实可靠地逼近隐式的非线性功能函数，加快收敛速度，减少迭代次数，有利于提高计算精度。在超锥体的范围而不是超棱体的范围内构造响应面，可以明显减少有限元分析的次数，而且不会降低计算精度。算例分析表明，本文提出的改进全局响应面法通过采用RBF神经网络在超锥体的范围内逼近隐式功能函数，能以较快的收敛速度和较少的有限元分析次数，获得精度较好的可靠度指标，显著提高计算效率。
参考文献：
[1]梁斌.隧道围岩与支护结构稳定可靠性分析方法研究[D].湖南大学，2015.
[2]吴兴正.路基边坡稳定可靠度计算中的不确定性问题研究[D].西南交通大学，2015.
[3]祁小辉.考虑土体不均匀性的岩土工程可靠度分析[D].武汉大学，2015.
[4]王丽娟.长短桩复合地基稳定承载可靠度研究[D].太原理工大学，2015.
作者简介：周璇；四川；身份证号：42900619840629XXXX