胡燕华
摘要：用高等数学乃至现代数学的思想、观点和方法来分析、认识初等数学的内容，高屋建瓴地处理教材，是高等专业学校数学教学中的一个重要问题。本文从求函数的极值、讨论函数的单调性、不等式的证明、恒等式的证明、切线方程的求法、数的概念的深刻理解、定积分计算体积等七个方面对微积分在中学数学中的应用问题加以分析，既为解决中学数学的相关问题找到了一些新的解题途径，又使微积分对中学数学的指导作用得到了具体说明。这样，既拓宽了数学解题的思路，使学生原有的数学知识体系更连贯，学生对知识的理解也更深刻，也能对学生学习高等数学产生良好的心理效应。
关键词：微积分；切线方程；单调性；极值
我国现在普遍使用的高中数学教材(人民教育出版社)中，增加了微积分的部分知识。为什么要增加这部分内容，笔者认为，至少有以下五个原因：一是微积分是人类宝贵的精神财富，加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值：二是使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养；三是可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高；四是增加了解决实际问题的工具，有利于学生分析问题、解决问题能力的培养；五是微积分进入中学已成为国际潮流。本文将就第三条原因展开讨论，主要讨论微积分在初等数学中的应用问题。
一、求函数的极值
初等数学中，经常用不等式、配方法求极值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。
例1.求++1的极值
解：=，令=0得
解得或由可得或，因此：
当时,得极小=；当时，得极大=3；
当时，得极大=1
此题若用配方法解如下：
(+)2+，
当时，得极小=；当时,得极大=3,但很容易遗漏极大=1.
二、讨论函数的单调性
初等数学中讨论函数的单调性时，经常在某区间任取，令若，则在该区间单调增加。若，则在该单调减少。该方法的优点是直观易懂，其缺点是函数表达式较复杂时，判断的正负比较困难，经常要求运用较高技巧，且适用面也较窄。运用微积分方法讨论函数单调性时，只需求出，再考虑的正负即可，该方法简便易行，不需多大技巧，且适用面也较宽。
例2.判定函数和在上的增减性。
解：
令，得或；
令，得，所以在和内单调递增，在内单调递减。
故在内单调递增。
以上微积分法讨论函数和的单调性时，均无需多大技巧，且过程类似，都较简单。但若用初等方法讨论，不仅需要一些技巧，而且解法也不能一样，较繁难些。对于函数，令，则
故在内单调增加。
对于函数，若同样令，
则此时，就不容易判断单调性了。从这里就可明显看到微积分方法讨论函数单调性的优越之处。
三、不等式的证明
不等式的教学地位主要体现在解各类方程，有关函数的问题、三角证明、几何证明等许多方面都有广泛的应用。初等证法中，有时需要较高的技巧，注意恒等变形的条件。利用微积分的思想可以使不等式的证明思路变得简单，技巧性降低。常见的证法有利用微分中值定理、函数的单调性、极值的判定法、定积分的性质、级数等。
1.利用函数的增减性证明不等式
函数在区间可微，则在严格递增(递减)充要条件：或
例3.证明贝努力不等式
已知，且且，求证
高中数学教材用数学归纳法证明
证明：当时，不等式成立
当时，不等式成立
假设当时，仍然有不等式成立
当时
也可用单调性证明(证明略)而运用更广泛的贝努力不等式：
已知，且求证
显然该命题不能用数学归纳法证明，而用单调性易证。
证明：令
则
已知
(1)当时，在严格增加，且在连续，，从而有即
(2)当时，因此在严格减少，从而即
由(1)(2)不等式得证。
该不等式再推广：已知求证（证法同上，证略）
又例如不等式且可推广为：，有，这些推广的结论学生可以直接应用
2.利用极值证明不等式
在某邻域内，函数取得极大值，极小值，利用极值的特点证明不等式.
例4.设，，证明：
证明：设+,
令=0得,即,在内，
可能成为极值的函数值是
,因故将比较，得
3．利用函数凸凹性的特点证明不等式
如果函数是凸函数，则在上有
如果函数是凹函数，则在上有，利用这一特点证明不等式。
例5.若且求证：
证明：设，则，于是在(0，∞)凸函数，
下面用初等证法证明：
令
在初等证法中，做到这一步学生往往束手无策，很容易想到再次运用基本不等式，则，4要比小得多，此路不通的原因是忽视了这个条件，表明变元的平均值为此时可令，既满足的条件，又可减少变元个数，便于操作
由此可见，运用微积分解则少了繁琐的考虑，简单方便。
4.利用微分中值定理证明不等式
微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。如：利用在（，）内的特点证明不等式。
例6．证明：当时
证明：设，它在区间，满足拉格朗日中值定理的条件【注2】，有，，
由于故，即
四、用于证明恒等式
有些恒等式，用初等方法证明，往往要有很高的技巧。而用微积分的方法，则往往很简单。
例7．求证：++=
证法一
证明令S=++…+，
又
把两式相加，其中第一式第二项与第二式第二项相加，其余类推，则，
证法二
证明：因为
对等式两边求导得:
令,即得
采用初等数学的方法证之,这里需要较高的组合技巧,微积分的方法相比较而言,简单得多。
五、给出切线一般定义处理相关问题
在初等数学中，曲线的切线没有一般的定义，例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，可把这一定义用到其他曲线上就不行了，如直线与抛物线只有一个交点，是的切线，但直线与抛物线也只有一个交点，是的切线，但直线却不是的切线，这说明用一个交点来定义切线不能用于所有曲线，有了微积分的知识后，就可以给出曲线的切线的一般定义：设是曲线上一定点，是该曲线上一动点,从而有割线的极限位置是曲线在的切线(如果极限位置存在的话)，这一定义与初等数学中圆的切线定义是一致的(用于讨论圆的切线时)，用这一定义很容易证明是的切线，而不是的切线，这一切线定义可用于任何曲线.因为表示曲线在点的切线斜率，故运用上述切线的一般定义和结论，可以处理与切线有关的问题。
六、深刻理解数的概念解决相关问题
数系是中学数学的重要内容之一，但如果没有微积分的知识，数系中的有些问题就不易理解，如对于等式1＝＝有些学生会问，小数点后无论取多少个9，都有1≠，怎么会相等呢？事实上，这个等式涉及一个求无穷等比级数部分和的极限问题，即：
0.＝＝=
有了极限的概念，这个问题就可理解清楚了，又如有理数均可化为分数形式，其含义易于理解，但无理数不能化为分数形式，在无限不循环小数，其含义就不易理解，若有了微积分的知识，就可把无理数视为有理数序列的极限，如对于无理数，可取
，
则=，这样对无理数，实数的理解就深刻。
有了微积分知识后，某些与数有关的相应问题也易于解决了。如实数范围内的一些不等式，在有理数范围内往往易于证明，一涉及无理数，就比较困难了，但若运用微积分知识，这些困难就会迎刃而解。
七、用定积分计算体积
高中《立体几何》中，祖暅定理由于中学具备知识所限不能证明，因此将其作为不证自明的公理给出，并由它及长方体的体积公式推出柱，锥，台，球等的体积公式，而在微积分中，它不过式定积分里应用截面面积计算体积的一个简单应—体积，其中是垂直Z轴的平面截立体所得的截面面积函数。此公理用微积分知识易证
例8(祖暅定理)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等
证明：如图所示，设两个平行平面间的距离为，过点垂直于轴的平面与这两个几何体相截，设截面面积分别是与，记这两个几何体的体积分别为与。
已知，有，因此，即这两个几何体的体积相等。另外，柱，台，锥，球等的面积和体积公式都可以由积分得到。
微积分在中学数学中还有一些应用，限于篇幅，此处不再讨论了。
综上所述，微积分进入中学后，可以使一些概念更精确，对某些问题的理解会更深刻，使一些证明更严谨或更简单，并为许多问题提供新的途径，另外，还可以大大扩展中学数学的应用范围。因此，中学数学的面貌会随着发生很大变化。