两类抛物型方程中源项与初始分布同时反演问题及其算法

论文摘要

抛物型偏微分方程常被用于刻画天然材料的扩散、传导以及传播等一类物理过程,其反问题的研究在许多科学和工程领域具有重要的研究意义.本文主要考虑了两类抛物型方程中空间依赖源项和初始分布同时反演问题,即分别研究一类带椭圆算子的抛物型方程和一类退化抛物型方程的同时反演问题及其数值解法.第一章介绍了抛物型方程反问题研究意义,以及源项和初始分布同时反演问题的国内外研究动态和本文主要研究内容.第二章给出了有关函数空间、退化偏微分方程的Fichera理论以及不等式等预备知识.第三章主要研究一类带椭圆算子的抛物型方程源项和初始分布同时反演问题.首先,通过将初始分布的信息转移至源项上得到一个组合源项,则原抛物方程被等价转为具有齐次初边值的抛物型方程.随后,同时反演问题被归纳为一个正则化泛函极小化问题,基于线性问题的叠加原理将泛函极小化问题离散为线性代数方程组,然后利用有限元方法求解一系列适定的正问题获得方程组的系数矩阵和右端项,从而实现无需迭代即求出反问题的近似解.反问题的唯一性由对应的变分问题的可解性证明得到,同时给出了正则化解的误差估计和收敛率,并在有穷维空间中考虑了近似正则化解的误差估计.最后,通过若干数值算例验证了算法的高效性和对噪声的鲁棒性.第四章研究一类退化抛物型方程的同时反演问题及其数值解法.首先,针对退化的抛物型方程的正问题,在带权的Sobolev空间下给出了正问题解的弱解形式及其正则性.然后,通过经典的Tikhonov正则化方法将同时反演问题归结为正则化泛函的极小化问题,证明了正则化解（极小元）的存在唯一性,并根据最佳逼近理论给出了正则化解的误差估计.最后基于共轭梯度算法给出了反问题的数值解法.为实现反问题的求解,基于有限体积法的Crank-Nicolson差分格式给出了正问题数值方法,并证明了差分格式的稳定性.最后,通过数值算例验证了反问题的数值算法是有效的.第五章是对全文的总结和未来工作的展望.

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 陈树立

导师: 王泽文,邱淑芳

关键词: 抛物型方程,同时反演问题,源项,初始分布,正则化方法

来源: 东华理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 东华理工大学

分类号: O241.82

总页数: 71

文件大小: 1863K

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