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〔关键词〕数学思想解题方法案例研究
1实例背景
本文内容的思考引导线来自课堂上一道习题。高二必修概率习题课上，讲解试卷时遇到习题：习题：已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线l与AB边围成的封闭区域为M。若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P。则下列结论正确的是（）。A.不论边长AB，BC如何变化，P为定值B.若AB/BC的值越大，P越大C.当且仅当AB=BC时，P最大D.当且仅当AB=BC时，P最小
2实例探讨
此题是由面积比面积计算概率，而曲边区域的面积需要用积分求解，此方法是未学过定积分的学生力不从心的，讲解时本想说“此题超出现在所学范围，我们放弃”，结果就有学生说出答案：A。于是勾起了我的好奇，我问：“为什么选A？”学生A回答：老师，你说过，数学选项中若有恒定时，一般都是选择恒定不变。全班哄堂而笑。学生B回答：我取的是特殊情况，由矩形中点和对边顶点构成三角形，无论矩形长宽有什么关系，三角形面积都是矩形面积的一半，概率相同，所以猜测对抛物线也是恒值。（有学生画图说明）学生C随即提出疑问：抛物线是弯曲的曲线，情况不能用线段来说明吧？班里顿时吵做一团，突然一个声音说道：那就撒豆子算概率呗。学生D忙说：那只是估计概率……伴着学生的争论声，下课铃响了，此题作为疑问，要求学生按同学们的想法继续课后思考。课后我也进一步进行了研究。
3实例的解决
按学生的思路，撒豆子是否能解决这个问题呢？书本139页，例题3、4的方法可以用在此题上。
3.1取两个不同的矩形，按要求做出抛物线，以这两给特例为例比较，采用计算机随机撒豆子方法求豆子落在阴影部分的概率：如图，为方便计算取特例：矩形矩形ABCD，AB=2，BD=2；EFGH，EF=2，FH=1；如图建立直角坐标系，并得对应抛物线的解析式分别为：y1=x2与y2=2x2。令a=RAND，b=RAND。对于图一：令a1=2（a－1/2），b1=b，随机取点（a1，b1）落入阴影处的点满足：b1≥a1即b≥[2（a－1/2）2]①，对于图二：令a2=2（a-1/2），b2=2b，随机取点（a2，b2）落入阴影处的点满足：即2b≥2[2（a－1/2）]2化简得b≥[2（a－1/2）]2②
3.2数据分析：①、②式相同，即随机取点（a，b）在两个图中落入阴影处的条件相同，故随机产生的有序数对确定的点落入阴影处的点数相同，在大量的试验中，豆子落入阴影部分的频率相同，故两个图像随机向该长方形内投入一粒豆子，落入阴影处的概率不随着长方形长与宽的关系的变化而变化，是一个定值。
4实例反思
《必修三》139页至140页内容为：由计算机随机产生点，统计落入在阴影区域的点的个数，计算频率，估计概率；此方法不会在考试中出现，因此在新课讲解过程中例题3后没有再做说明，但是此题则是用计算机取点的方法与随机性，进一步验证了概率的统一性，从而说明面积比值的恒定性。通过本节课案例，课后对数学思想方法的教学有了进一步反思。
4.1首先学生A的回答听来是没有缘由的猜测，却也是对数学题目的归类总结，虽然是无计可施的最后猜测，但是也不失为一个考试蹭分的好手段。学生B则是进一步思考，试图用自己的方法来解决，而且为了证实这一特殊形式是否准确，学生尝试了两个图像的计算，通过结果一样再来确定结论的准确性，学生B的解题过程体现了两点，第一，该生体会了数学从小学到初中再到高中就是从特殊到一般的过程，学会了用特殊研究一般的数学研究方法；第二，多种特殊结果相同才确定答案，体现了该名学生学习数学的严谨的态度，往往特殊情况有特殊的值，数学学习就是需要这种敢于想，敢于尝试的严谨的探索精神，让我心里也为之感动。
4.2学生C虽然没有解决问题，但是他的疑问却是给了我们另一种解题的思路，让本来想说此题超纲的我也深入思考方法。解题要敢于联想，看似毫无相关的撒豆子估计概率的随机取数法解此题却得心应手；其次课堂中我们要关注学生的思路方法，也许学生的想法并不完善甚至不准确，但是我们要挖掘学生解题思路中的亮点，在看似不通时却是一条明路，甚至具有独特性，我们要给学生解题的启发，也要关注学生思维中能给予我们的启发，从而让学生有抽象、逻辑推理与判断的数学能力，又更严谨完善的建立梁玉兴之间的关系的数学思想方法。这样就对中学数学教师提出了更高的要求。
4.3一个人的思维方法，一般来说在中学时期就大体形成。因此在这段时各科通过本学科的教学对学生进行思维方法的教育是非常重要的。而其中数学思想方法的教育是非常重要的。数学教学不仅要注意数学知识纵向的发展与联系，也要能联系数学的横向关系，要让学生有发散思维，能够熟练地应用所学知识解决问题，注意培养学生的数学素养。把一切事物看成是不断发展变化的辩证观点，全面考虑问题的习惯、分析、综合、类比、归纳、概括事物的能力是数学课堂在传授讲解数学知识之外必须要注意培养的。不讲数学思想的课不是好课，而成功的数学课必须达到三个目标:讲活、讲性、讲深。其中讲深，就是教师在教学中不仅传授于学生数学知识，而且还要帮助学生领会内在的思想方法，做到学习数学，知其然，知其所以然。
参考文献
1王秀芳.学思想方法教育与高师学生数学素养的提高[J].连云港教育学院学报，1997.3
作者单位：新疆石河子第一中学