论文摘要
本文从讨论二阶、四阶对称微分算子新的统一的自共轭域标准型出发,根据边界条件对自共轭域的刻画,研究了C 对称微分算子的自共轭扩张问题.线性算子理论是泛函分析的重要组成部分,是深刻反映众多数学问题本质的数学分支,具有十分广泛的应用背景及研究意义.其中线性微分算子,作为近代数学物理中最为基本且最为常用的变换关系,在线性算子理论及其他数学分支中起着重要的作用.线性微分算子,通常是线性微分算式及赋予其齐次线性边界条件的总称.由于自共辄算子的谱是实的,因而在应用上具有特殊的重要地位.微分算子是由微分算式生成的稠定的算子,是一类无界的可闭线性算子,而自共辄微分算子是一类无界的闭算子.根据泛函分析中的闭图像定理,其定义域不可能是全空间,从而微分算子自共轭定义域的选择一直是微分算子理论中十分困难的一个问题.自共轭微分算子的描述问题既依赖于生成的微分算式,又依赖于它所作用的空间范围.对称算子通常是进一步研究其他类型算子的基础.微分算子的自共轭性问题最终体现在对定义域的限制上.定义域不相同的微分算子,其谱分解,特别是离散谱会有很大的不同.因而对称微分算子自共轭边界条件的标准型是研究微分算子边界条件对谱的分布影响的理论基础.边界条件的标准型在研究微分算子边界条件对微分算子谱分布影响中有一个基本和独特的地位.近年来一些数学工作者给出了二阶微分算子耦合自共轭边界条件及分离自共轭边界条件两种不同的标准型,并研究了四阶微分算子自共轭边界条件的标准型分类和它的具体形式.我们注意到耦合和分离这两种标准型具有完全不同的形式,在应用上（包括研究特征值对边界条件的依赖）会受到一定程度的限制,在本文中我们给出了全新的二阶自共轭边界条件统一的标准型,通过这个标准型系数的选择,可以使之成为耦合的标准型,或者成为分离的标准型.在此基础上,通过研究四阶微分算子新的自共轭边界条件的标准型,使得四阶的情况与二阶的情况在形式上完全一致,而且包含了它们各自每一类型的标准型.这为研究一般偶数阶对称微分算子自共轭边界条件的标准型提供了良好的基础.自共轭微分算子定义域的描述,即边界条件的限定,是线性微分算子理论中一个十分有意义的根本性的问题,一直受到许多中外学者的广泛探索.在研究自共轭边界条件的标准型的过程中,我们注意到M.A.Naimark教授与A.Zettl教授分别引进了不同的对称微分算式.在此基础上,我们考虑并引入C-对称概念,使两种不同的微分算子加以统一.进而研究了一般偶数或奇数阶C-对称微分算式,其中C为满足C-1=-C=C*的斜对角常数矩阵,这拓展了对称形式的数学内蕴,给出了更加完备的微分算式新的对称形式.随着应用的需求,直和空间内自共轭微分算子的研究得到了很大程度的推广.自从两区间二阶Sturm-Liouville问题的自共辄扩张问题被研究以来,这些理论被推广到高阶微分算子及它的自共轭域描述问题,进一步被推广到任意多个区间上的高阶微分方程问题.由于自共轭算子的谱是实的,应用实参数平方可积解描述自共轭问题会产生与微分算子谱相关的信息.本文研究了两区间理论,即在Hilbert空间的直和框架下,应用微分方程实参数平方可积解,给出两端奇异的两区间C-对称微分算子自共轭域的完全描述.通过上述研究,注意到刻画微分算子边界条件的矩阵的根本特征,我们总结出一类作用于自共轭边界条件上的矩阵群:C-辛群,研究了这类C-辛群的性质,以及特征值的分布特点.进一步地,从C-辛群的角度,研究了一般偶数阶C-对称微分算子的所有自共轭扩张的描述问题及对应边界条件的标准型问题.C-辛群性质的研究,为我们研究、理解自共轭扩张提供了一个新的途径.
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 青兰
导师: 孙炯
关键词: 对称,自共轭域,标准型,直和空间,辛群
来源: 内蒙古大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 内蒙古大学
分类号: O175.3
总页数: 138
文件大小: 4074K
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