Nevanlinnia理论与两类复线性微分—差分方程

论文摘要

Nevanlinna理论是Picard小定理的重要发展和亚纯函数理论的重要部分,由Nevanlinna于1925年创立,亦称值分布理论.研究Nevanlinna理论的一个基本工具是Nevanlinna特征Tf（r）,它测度了一个亚纯函数f的增长率.该理论后来被推广到了Cn的子流形和全纯曲线情形,如参考W.Stoll[51,53].最近,A.Atsuji[2,3]从布朗运动角度研究了完备Kahler流形上亚纯函数的值分布问题.例如,Atsuji在2008年利用概率方法建立了Cm子流形上亚纯函数的第二基本定理[3],随后又建立了完备Kahler流形上亚纯函数的第二基本定理[2].在文章[3]中,他证明了Theorem 0.0.1（Atsuji[3]）设f是完备和随机完备Kahler流形M上的非常量亚纯函数,ai,…,aq是P1（C）中互不相同的点.那么对任意给定的常数δ>0,我们有（?）mf（r,aj）+Ni（r,f）≤2T（r）+2Nf（r,Ric）+O（log Tf（r））+log C（o,r,δ）对一切r>0成立,至多去掉一个有限测度的例外集E说.然而,上述定理中C（o,r,δ）是一个尚未确定的量.要计算它首先需要给出格林函数的估计,但一般流形上的格林函数往往很难求解且计算量很大.因此,为处理这一项,Atsuji[7]于2010年引进了一套新Nevanlinna函数,即mx（t,a）Nx（t a）和Tx（t）（逼近函数,计数函数及特征函数,见[7]中的定义）,可以看成是经典Nevanlinna函数的一个类似.利用这套概念,Atsuji[7]类似地建立了第二基本定理.为陈述这一定理,我们先回顾随机完备性的概念.假设M是一个（测地）完备黎曼流形,其关于度量的Laplace-Beltrami算子记为△.令p（t,x,y）是热方程（?）u/（?）t-1/2Δu=0的极小正基本解.我们称M是随机完备的,如果fM p（t,x,y）dV（y）=1对一切x ∈ M成立,此处dV是M上的黎曼体积测度.Theorem 0.0.2（Atsuji[7]）设f是完备和随机完备Kahler流形M上的非常量亚纯函数,a1,…,aq是P1（C）中互不相同的点.若Tx（t）<∞,limt→∞Tx（t）=∞以及|Nx（t,Ric）|<∞.那么对任意给定的常数δ>0,我们有（?）mx（t,aj）+N1（t,x）≤2Tx（t）+2Nx（t,Ric）+（4q+1+δ）logTx（t）+O（1）对一切r>0成立,至多去掉一个有限测度的例外集Eδ.Remark 0.0.3在原结论（定理17,[7]）中,log Tx（t）的系数是5+δ,但我们经核对后认为应该是4q+1+δ.在本论文中,我们沿着B.Davis,T.K.Carne和A.Atsuji等一些学者的研究路线,利用随机微积分理论重新阐释了经典Nevanlina理论.特别地,我们给出了亚纯函数和全纯曲线（Cartan-Ahlfors的第二基本定理）的经典结果的概率证明.同时,我们将Atsuji的第二基本定理推广到了积Kahler流形上.现在,我们转向线性微分-差分方程领域.研究如下形式的常系数复线性微分-差分方程（?）Akif（k）（z+μi）=g（z）的一般解结构是微分-差分方程理论中的一个基本问题.关于这个方程的解结构问题,许多学者都曾作过深入研究（参考[10,15,18,44,57]）.然而,这个问题一直没有得到彻底解决.例如,我们尚不清楚这个方程是否存在一个增长级大于1的整函数解,更甚者,我们亦不知该方程整函数解的一般结构形式.C.C.Yang曾在1970s提出:问题（Yang）一阶线性微分-差分方程f’（z）=f（z+1）是否存在一个增长级大于1的整函数解?如何表示它的一般整函数解结构?关于这个问题,我们在第四章中对一般常系数复线性微分-差分方程的整函数解的结构作了研究,并给了一般整函数解的表示.从某种意义上说,一个线性微分-差分方程可以看成是一个无穷阶线性微分方程.关于一般常系数线性微分-差分方程,我们在第四章中给出了整函数解的结构,然而关于它的整函数解的存在唯一性问题,我们并未作任何讨论.因而,我们在第五章中着重考察了一类无穷阶线性微分-差分方程整函数解的存在唯一性问题,这类方程可以看成是常系数线性微分-差分方程的推广.本论文包括五章内容,各章大意如下:在第一章中,我们介绍了一些预备知识,包括经典Nevanlinna理论、随机理论和势理论以及整函数理论.在第二章中,我们给出了经典Nevanalinna理论中亚纯函数和全纯曲线的第一、第二基本定理的概率证明.在第三章中,基于热扩散方法,我们建立了完备积Kahler流形上的亚纯函数的第一、第二基本定理.在给定某些曲率条件下,我们得到了 Picard小定理,即完备积Kahler流形上的非常量亚纯函数至多有两个例外值.在第四章中,我们给出了一般常系数线性微分-差分方程整函数解的结构,解答了C.C.Yang关于方程f’（z）=f（z+1）的整函数解结构的提问,并推广了 Valiron关于一类无穷阶线性微分方程解结构的一个结果.在第五章中,我们研究了一类无穷阶常系数线性微分-差分方程整函数解的存在唯一性问题.

论文目录

摘要

Abstract

Chapter 1 Preliminaries

1.1 Nevanlinna theory

1.1.1 Meromorphic functions

1.1.2 Holomorphic curves

1.2 Stochastic processes

1.2.1 Probability theory

1.2.2 Stochastic processes and stopping times

1.2.3 Martingales and optional sampling

1.2.4 Brownian motions

1.3 Potential theory

1.4 Entire functions

Chapter 2 Classical Nevanlinna theory via the Brownian motion

2.1 Nevanlinna theory for meromorphic functions

2.2 Nevanlinna theory for holomorphic curves

1（C）'>Chapter 3 Holomorphic maps from a product of complete Kahlermanifolds into P¹（C）

3.1 Main results

3.2 Extensions of the classical Nevanlinna theory

3.3 Analogous Nevanlinna theory

3.4 Consequences of our main results and defect relation

3.4.1 Consequences of Theorem 3.1.2

3.4.2 Consequences of Theorem 3.1.3

3.5 Holomorphic maps into a general compact Riemann surface

Chapter 4 Structure of entire solutions of linear differential-differenceequations with constant coefficients

4.1 Main results

4.2 Weierstrass-type factorization

4.2.1 Properties of a class of linear differential operators

4.2.2 Weierstrass-type factorization theorem

4.3 Proofs of the Theorems

4.3.1 Lemmas

4.3.2 Proofs

Chapter 5 Existence and uniqueness of infinite-order linear differential-difference equations with constant coefficients

5.1 Main results

5.2 Linear differential operator L（D）

5.3 Proofs of the Theorems

5.3.1 Lemmas

5.3.2 Proofs

REFERENCES

Publications during the Ph.D program

致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 董显晶

导师: 廖良文

关键词: 理论,布朗运动,全纯曲线,流形,曲率,微分差分方程,微分算子,存在唯一性

来源: 南京大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 南京大学

分类号: O174.52;O175

总页数: 122

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Nevanlinnia理论与两类复线性微分—差分方程

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