空间形式中几类曲率流的研究

论文摘要

本文主要讨论空间形式中闭超曲面的高阶齐次收缩曲率流和非齐次收缩曲率流,以及欧氏空间中完备非紧超曲面的高阶齐次曲率流.本文共分七章.第一章是引言部分,重点介绍曲率流的研究背景、研究现状及本文的主要结果.第二章主要介绍各章需要的预备知识,包括超曲面的基本公式,逆凹曲率函数的性质,以及抛物方程的正则性结果.在第三章里,我们给出了空间形式中闭超曲面的收缩曲率流的短时存在性,及重要几何量的发展方程.第四章主要研究空间形式中拼挤超曲面的高阶齐次收缩曲率流（简记为Fβ-流）,即发展速度是单调、对称、一阶齐次曲率函数F的β（β>1）次幂.首先,运用极大值原理,我们证明了拼挤估计在Fβ-流下是保持的,在此基础上得到运动超曲面在有限时间内收缩到一点.其次,经过适当的伸缩变换,根据拼挤估计得到了规范化之后的主曲率的一致上下界估计,从而证明了发展超曲面光滑地指数收敛到单位球面.在第五章里,我们考虑了空间形式中闭超曲面的非齐次收缩曲率流（简记为Φ（F）-流）,即发展速度是单调、对称、逆凹、一阶齐次曲率函数F的非齐次函数Φ（F）.首先,利用张量极值原理及逆凹函数的性质证明了超曲面的凸性在Φ（F）-流下是保持的.其次通过采用高斯映照的参数化方法,得到了主曲率的高阶导数估计,从而证明了演化超曲面在有限时间内收缩到一点.第六章着重研究欧氏空间中完备非紧超曲面的高阶齐次曲率流（简记为Fβ-流）,即发展速度是单调、对称、逆凹、一阶齐次曲率函数F的β（β≥1）次幂.首先,利用逆凹曲率函数的性质,我们得到了梯度函数的先验估计,主曲率及第二基本形式高阶导数的内部估计.其次,基于局部估计,我们证明了完备光滑严格凸解存在,且是某个函数的图像.最后,对于特殊的逆凹曲率函数,通过构造上解的方法得到了完备非紧光滑严格凸解长时间存在,且是某个函数的图像.在第七章中,我们总结了本文的主要内容,并提出了后续将进一步研究的问题.

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文章来源

类型: 博士论文

作者: 吕玉砂

导师: 李光汉

关键词: 空间形式,凸超曲面,高阶齐次曲率流,非齐次曲率流,局部一致凸超曲面,拼挤估计

来源: 武汉大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 武汉大学

分类号: O186.1

总页数: 98

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