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椭圆方程最优控制问题的算法研究

2020-12-08阅读(426)

椭圆方程最优控制问题的算法研究

论文摘要

最优控制主要研究的问题是:在对目标系统施加一定的控制因素的条件下,使之能够按照既定的要求运作,且使得所需要的某一性能指标取得极大值或者极小值。最优控制问题在实际生活生产中有着广泛的应用,数学上属于最优化方法的一个应用。由于实际中大部分控制系统的复杂度较高,现如今的大部分求解算法有难收敛或低收敛率的问题,设计求解最优控制问题的高效算法仍是研究人员关注的一个热点问题。本文主要研究由椭圆方程约束控制的最优控制问题,分别对最优控制模型在无状态约束情况和有盒子约束控制情况的两类子问题进行了高效算法的设计和对比研究。研究工作主要基于交替方向乘子法(ADMM)、惯性交替方向乘子法(IADMM)以及对称交替方向乘子法(SADMM)。其中IADMM与SADMM分别是由ADMM借助邻近点算法(PPA)和自身结构体特性优化而构造的。对于关注的两类最优控制模型,本文首先分析了解的存在唯一性以及一阶最优性条件,给出了详细的证明;并利用有限元方法将原始优化模型转换成优化离散系统,给出了有限元的收敛误差;数值求解中,本文利用了ADMM,IADMM和SADMM三种算法分别求解离散优化系统,并详细给出了IADMM与SADMM两种算法的优化构造过程及原因,详细证明了ADMM的收敛性以及收敛率,给出了在最差情况下O(1/)的收敛率;最后本文给出了大量数值实验结果。在数值实验中,本文分别给出了有限元误差的数值结果以及三种算法的收敛速率比较,其中有限元误差的数值结果与理论分析基本一致,在三种算法的收敛速率比较中SADMM更胜一筹,然后是IADMM,排在最后的是ADMM。数值实验结果表明了本论文进行的算法设计改造是有效的,提升了算法的性能;还说明了ADMM类算法在解决最优控制问题上的高效性。本文的理论分析以及数值实验结果表明我们成功地构造了求解椭圆方程最优控制问题的高效算法。论文的研究工作不仅为一类最优控制问题提供了高效的求解算法,而且能为其他最优控制问题的算法设计研究提供一定的帮助和启发,具有一定的实际意义。

论文目录

  • 摘要
  • ABSTRACT
  • 第一章 绪论
  •   1.1 PDE最优控制问题梗概
  •     1.1.1 PDE最优控制的简述
  •     1.1.2 PDE最优控制的应用
  •   1.2 PDE最优控制问题的数值方法
  •     1.2.1 先优化后离散方法
  •     1.2.2 先离散后优化方法
  •   1.3 论文的研究目的及主要内容
  •     1.3.1 论文的研究目的
  •     1.3.2 论文的研究内容
  • 第二章 最优控制模型
  •   2.1 预备知识
  •     2.1.1 Sobolev空间及相关空间
  •     2.1.2 Frechet导数及Sobolve空间的Green公式
  •   2.2 最优控制模型
  •   2.3 最优控制模型解的存在及唯一性
  • 第三章 有限元离散
  • 1）和（M2）中e（y,u）=0的变分形式'>  3.1 模型（M1）和（M2）中e（y,u）=0的变分形式
  • 1）中e（y,u）=0变分形式'>    3.1.1 （M1）中e（y,u）=0变分形式
  • 2）中e（y,u）=0变分形式'>    3.1.2 （M2）中e（y,u）=0变分形式
  •   3.2 有限元离散
  •   3.3 有限元误差
  •   3.4 一阶最优性条件
  •     3.4.1 变分不等式
  •     3.4.2 一阶最优性条件
  • 第四章 优化算法研究
  •   4.1 ADMM
  •     4.1.1 经典ADMM概述
  •     4.1.2 邻近点算法（PPA）
  •     4.1.3 PPA意义下的ADMN
  •   4.2 惯性ADMM （IADMM）
  •   4.3 对称ADMM （SADMM）
  •   4.4 ADMM的收敛性分析
  • 第五章 数值实验
  • 第六章 总结与展望
  • 参考文献
  • 附录
  • 致谢
  • 攻读硕士期间发表的学术论文目录

    • 文章来源

    类型: 硕士论文

    作者: 高新

    导师: 袁健华

    关键词: 最优控制,交替方向乘子法,惯性交替方向乘子法,对称交替方向乘子法,有限元方法

    来源: 北京邮电大学

    年度: 2019

    分类: 基础科学

    专业: 数学

    单位: 北京邮电大学

    分类号: O232

    总页数: 75

    文件大小: 4290K

    下载量: 74

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