平稳高斯序列中随机广义次序统计量及其对偶的二元极限定理

论文摘要

在大多数传统统计理论中,当进行统计推断时,样本容量常常被假设为固定的或事先已知的。但是在许多实际问题中,我们经常遇到以下情形:样本容量n为服从给定分布的正整数值随机变量。出现这种情况的一个主要原因是在一些生物学、农业和质量控制问题中,由于某些观测会因各种原因而丢失,因而不太可能预先知道一个固定的样本容量。但是,在这些研究中,很自然地产生了随机样本容量,如序贯分析、分支过程、破坏模型或点过程的稀疏性,以及最大值记录[47]。在本文中,我们将随机样本容量作为某种统计推断模型的扩展。可以假设样本容量与要考察的基本变量相互独立。Galamabos[48]指出,如果允许同一随机指标的线性正则化,那么正则化常数将控制收敛的条件和极限分布的实际形式。因此,在弱收敛结果中,我们对正则化常数是非随机的情形更感兴趣。作为一种主要的建模工具,极值理论也能被用于统计评估。这种理论主要关心一组随机变量中的最大和最小值,而这些问题中的随机变量或者是实际的观测或者只是用来描述模型而假设的量。因此,极值理论并不仅仅是单纯的对极大值和极小值次序统计量的研究,那些非极端值可能在某些情形下毫无意义。例如,航天器有可能因一些关键部件的第一次失效而毁坏[6][51]。Kamps[58]介绍了广义次序统计量（gos）的模型,作为一个统一方法,这个概念包含了关于不同有序随机变量的很多模型。普通次序统计量（oos）、k-位记录值（当k=1时即退化为普通次序统计量）、序贯次序统计量（sos）、以及通过截断分布和删失机制来排序,都可视为广义次序统计量的特例。自从Kamps[59]介绍了gos统一模型,这种模型在可靠性理论、统计建模与推断中的灵活性使得对这种模型的应用近年来逐步增长。Burkschat等人[34]介绍了gos的对偶模型,这种模型也被称为对偶广义次序统计量（dgos）。Dgos模型使得我们能够用一种统一的方法来研究降序随机变量,比如逆序统计量,低k记录和低Pfeifer记录。Burkschat等人[34]通过一些例子展示了gos与dgos之间的关系。Vasudeva和Moridani[76]研究了平稳高斯序列（sGs）的上极值的极限分布。样本容量vn本身是与样本独立的随机变量。但是在他们的研究中假设了一个限制条件,也就是,相关系数ρvn的随机序列依概率收敛到一个正常数或者无穷大。最近,Barakat等[27]放松了这一限制条件,得到了平稳高斯序列中带有随机指标的普通次序统计量的极限分布。进一步,Barakat等[28]研究了样本容量弱收敛时,极值、中值和第m个广义次序统计量的极限分布。最近,Barakat等[11]又研究了样本容量非随机时,任意两个极值和第m个广义次序统计量的极限联合分布。本文的主要目的是把Barakat[11]最近的研究工作推广到样本容量vn为与样本观测独立的正整数值随机变量的情形。作为此结果的一个应用,我们给出了随机广义拟全距以及对偶广义拟全距统计量的弱收敛的充分条件。需要指出的是,本文的结果不仅对评价现有的统计方法具有重要作用,而且有助于克服它们在不同背景下的局限。本文由六个部分构成,第一部分主要是介绍,第二到第四部分的材料已总结成论文[44]。文章结构具体如下所示。第一章:本章对次序统计量、广义次序统计量和对偶广义次序统计量的分布理论分别进行介绍,同时,为了便于读者理解,本章还介绍了在后续章节中将要用到的一些基本概率极限定理。此外,本章介绍了具有可变秩的次序统计量、平稳高斯序列、带有随机样本容量的极值的极限理论,回顾了广义次序统计量和对偶广义次序统计量的一些重要函数的极值理论,同时介绍了拟全距、拟中距、极值积、极值商等概念。第二章:本章研究了当样本容量vn弱收敛且与样本独立时,在等相关性设置下,平稳高斯序列的极值、中值和第m个广义次序统计量的二元随机样本容量的极限分布.进一步给出了随机指标弱收敛的充分条件。第三章:本章研究了当样本容量vn弱收敛且与样本独立时,在等相关性设置下,平稳高斯序列的极值、中值和第m个对偶广义次序统计量的二元随机样本容量的极限分布.进一步给出了随机指标弱收敛的充分条件。第四章:本章研究了平稳高斯序列的广义拟全距、广义拟中距、广义极值积、广义极值商的二元随机样本容量的极限分布,给出了弱收敛的充分条件。同时,我们给出了这些统计量的非退化极限分布。第五章:本章研究了平稳高斯序列的对偶广义拟全距、对偶广义拟中距、对偶广义极值积、对偶广义极值商的二元随机样本容量的极限分布,并给出了弱收敛的充分条件。此外,本文还给出了这些统计量的非退化极限分布类。同时,我们给出了这些统计量的非退化极限分布。第六章:总结与结论。

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Acknowledgement

Abstract

中文摘要

List of Abbreviations

Chapter 1 Introduction and Background

1.1 Order Statistics

1.2 Types of Convergence

1.3 Extreme Value Theory

1.4 Limit Theory of Order Statistics with Variable Rank

1.5 Generalized Order Statistics and Its Dual

1.6 Random Sample Size

1.7 Stationary Gaussian Sequences

1.7.1 The Univariate m-gos and m-dgos with Fixed Indices in a sGs

1.7.2 The Univariate m-gos and m-dgos with Random Indices in a sGs

1.7.3 Bivariate m-gos with Fixed Indices in a sGs

1.8 Functions of Order Statistic

1.8.1 Quasi-ranges and Quasi-midranges

1.8.2 The extremal product

1.8.3 The extremal quotient

1.9 Functions of Generalized and its Dual

1.9.1 The Generalized Range and Generalized Midrange and its Dual

1.9.2 The Generalized Extremal Product and its Dual

1.9.3 The Generalized Extremal Quotient and its Dual

Chapter 2 Limit Theorems for Bivariate Generalized Order Statis-tics in a Stationary Gaussian Sequences with RandomSample Sizes

2.1 The Joint df of Extreme m-gos with Random Indices in a sGs

2.2 The Joint df of Central m-gos with Random Indices in a sGs

2.3 The Joint df of Intermediate m-gos with Random Indices in a sGs

2.4 Application

Chapter 3 Limit Theorems for Bivariate Dual Generalized OrderStatistics in a Stationary Gaussian Sequences with Fixedand Random Sample Sizes

3.1 The Joint df m-dgos with Fixed Indices in a sGs

3.2 The Joint df of Extreme m-dgos with Random Indices in a sGs

3.3 The Joint df of Central m-dgos with Random Indices in a sGs

3.4 The Joint df of Intermediate m-dgos with Random Indices in a sGs

Chapter 4 Limit Theorems for Bivariate Generalized of Some Func-tions in a Stationary Gaussian Sequences with RandomSample Sizes

4.1 The joint df of Generalized Quasi-Range with Random Indices in a sGs

4.2 The joint df of Generalized Quasi Midrange with Random Indices in a sGs

4.3 The joint df of Generalized Extremal Product with Random Indices ina sGs

4.4 The joint df of Generalized Extremal Quotient with Random Indices ina sGs

Chapter 5 Limit Theorems for Bivariate Dual Generalized of SomeFunctions in a Stationary Gaussian Sequences with Ran-dom Sample Sizes

5.1 The joint df of Dual Generalized Quasi-Range with Random Indices ina sGs

5.2 The joint df of Dual Generalized Quasi-Midrange with Random Indicesin a sGs

5.3 The joint df of Dual Generalized Extremal Product with Random Indicesin a sGs

5.4 The joint df of Dual Generalized Extremal Quotient with Random In-dices in a sGs

Chapter 6 Summary and Conclusion

References

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文章来源

类型: 博士论文

作者: FATMA HASHEM MOHEMED OSMAN ESSAWE

导师: 赵慧

关键词: 高斯序列,弱收敛,随机指标,广义次序统计量,二元广义次序统计量,广义拟全距,广义拟中距,广义极值积,广义极值商,对偶广义次序统计量,二元对偶广义次序统计量,对偶广义拟全距,对偶广义拟中距,对偶广义极值积,对偶广义极值商

来源: 华中师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 华中师范大学

分类号: O211.4

总页数: 157

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