论文摘要
Mark and Cell（MAC）方法是交错网格上的一种有限差分方法,是公认的处理Stokes问题和Navier-Stokes问题中最简单且最高效的方法之一,此观点在文献[35]和[40]中都有提到。MAC方法是在20世纪60年代由Lebedev[48]和Daly等人[21]提出的,直到1992年,才由Xicolaides[60]以及Nicolaides和Wu[61]通过将MAC方法转化为有限体积方法得到其理论分析,但是介于对有限体积方法的数学分析工具也很少,所以当时对MAC方法的理论分析并不成熟;1996年,Girault和Lopez[35]提出利用特定的求积公式将MAC方法转化为混合有限元方法,以此来得到方法的理论分析;1998年,Han和Wu[40]也将MAC方法转化为一种新的混合有限元方法,从而得出方法的理论分析;随后在2008年,Kanschat[63]应用特定的积分将MAC方法等价为一阶局部间断有限元方法;紧接着,Minev[58]受到启发利用矩形网格上的一阶Nedelec元得到MAC方法。需要注意的是以上所提到的文献都只证明MAC方法在均匀网格中的速度（H1范数下）和压力（L2范数下）能达到一阶收敛,但是Nicolaides在文献[60]中指出数值计算结果表明MAC方法是可以达到二阶收敛的。2015年Li和Sun在文献[50]中建立了 Stokes方程的MAC格式,文章中证明了速度的稳定性,并得到了 MAC方法在非均匀网格中得到的速度是二阶收敛的,据我们所知这是第一篇证明MAC方法二阶收敛的文章,但是文章中存在几个疑点并没有得到解决,比如在文章中,速度的稳定是基于压力的稳定,但是压力的稳定性在文中并没有给出。随后在2017年,Rui和Li[71]通过建立离散的Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi（LBB）条件证明了压力的稳定性,他们证明了速度和压力在L2范数下均能达到二阶的收敛结果,还得到了离散H1范数下某些项是二阶收敛的,其他项在均匀网格中也能达到二阶收敛。我们这篇文章就是遵循着文献[71]的主要思想,先建立离散的LBB条件来分析稳定性,再利用速度的辅助函数来分析得到速度和压力的收敛性。在本篇论文中,我们主要讨论MAC方法应用于Darcy-Stokes-Brinkman方程,带阻尼项的Stokes方程,以及耦合的Stokes-Darcy方程,并分析其稳定性和收敛性。文章中主要内容如下:第一章中,我们给出整篇文章中通用的一些符号和定义,包括区域剖分,离散差商,离散内积和范数的定义,方便之后的应用。第二章中,我们讨论了 MAC方法用于Darcy-Stokes-Brinkman问题,并分析其在非均匀网格中的稳定性和收敛性。Darcy-Stokes-Brinkman问题,简称Brinkman问题,其模型会随着扰动参数ε的变化在Darcy流和Stokes流之间转化,所以用于解决Stokes问题的MAC方法自然可用于Brinkman问题。在本章中,我们先建立了对应的离散LBB条件,通过将MAC格式转化为混合有限元的变分格式得到了速度和压力的稳定性。收敛性分析中,我们引入基于速度和离散参数的辅助函数,先得到了 MAC格式得到的近似速度在范数‖· ‖ε下是二阶收敛与于辅助速度函数的,再利用辅助函数的定义得到MAC方法的误差估计结论:1、非均匀网格中,速度和压力在离散L2范数下可达到二阶收敛;2、当ε不趋于零时,速度的x方向分量在x方向的差商在L2范数下是可以达到二阶收敛的,同样地,速度y方向分量在y方向的差商也是二阶收敛的;3、当ε不趋于零时,速度x方向分量在y方向的差商的L2范数在非均匀网格中只能达到一阶收敛,在均匀网格中可到达1.5阶,若再去除边界项,则可达到二阶收敛,速度y方向分量在x方向的差商也可得到类似结论。本章的最后,我们会用数值实验来验证理论结果。第三章中,我们考虑带阻尼项的Stokes方程,应用MAC方法来做问题在非均匀网格中的离散。阻尼项、也称作Forchheimer项,是非线性项,对这一项的处理是本章的关键点,我们会参照文献[36,70]中对Forchheimer项的技巧来处理这一项。为了分析方法的稳定性,我们还是先建立对应的离散的LBB条件,再将MAC格式转化为混合有限元的变分格式并得到速度和压力的稳定性。在误差分析中,同样引入了关于速度的辅助函数,先得到了速度和辅助函数之间的二阶收敛,再利用辅助函数的定义得到MAC方法得到的速度与真实速度之间的误差估计。文章的主要结论如下:非均匀网格中,速度和压力在L2范数下都是二阶收敛的;速度在离散H1范数下,x方向分量在x方向的差商和y方向分量在y方向的差商是二阶收敛的;而x方向分量在y方向的差商和y方向分量在x方向的差商只能达到一阶收敛,在均匀网格中,可以达到1.5阶收敛,若再去除边界项,其均能达到二阶收敛。本章的最后也给出了数值实验,其中我们利用Picard迭代来解决非线性部分,验证了理论分析的正确性。第四章中,我们建立了耦合的Stokes-Dary问题在非均匀交错网格中的MAC格式。据我们所知,MAC方法是用于求解Stokes方程最简单有效的方法之一,而块中心差分方法用于解Darcy方程和Darcy-Forchheimer方程时也可达到二阶收敛（分别参见文献[65,83]）,并且MAC方法和块中心差分方法都是交错网格上的差分方法,所以块中心有限差分方法也可以被看作为是用于解决多孔介质流的MAC方法,但是解决耦合问题的关键困难在于:在交界面上,Stokes流和Darcy流有不同的正则性质,并且切向的速度也不连续。本章的主要内容如下:首先我们建立耦合问题在交错网格上的MAC差分格式,其中交界面上我们应用有限体积积分来得到对应的差分格式;然后,为了得到整个区域上速度和压力的稳定性,我们建立了对应的离散LBB条件;为了分析收敛性,我们引入速度的辅助函数,且得到结论:1、在非均匀网格中,Stokes流和Darcy流的速度和压力在L2范数下均可达到二阶收敛,2、对于Stokes流的速度,在非均匀网格中,x方向的分量在x方向的差商和y方向的分量在y方向的差商在L2范数下均能达到二阶收敛,3、而x方向的分量在y方向的差商和y方向的分量在x方向的差商在非均匀网格中只能达到一阶收敛,在均匀网格中能达到1.5阶收敛,若再去除边界项,则能达到二阶收敛;最后,还是会给出数值实验来验证理论分析的可靠性。最后在第五章中,我们对整篇论文做一个总结,并且对未来的工作展开做了简单的规划。
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 孙悦
导师: 芮洪兴
关键词: 有限差分方法,方程,带阻尼项的方程,耦合的方程,离散的条件,稳定性,超收敛性,数值实验
来源: 山东大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 山东大学
分类号: O241.3
DOI: 10.27272/d.cnki.gshdu.2019.000187
总页数: 131
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标签：有限差分方法论文; 方程论文; 带阻尼项的方程论文; 耦合的方程论文; 离散的条件论文; 稳定性论文; 超收敛性论文; 数值实验论文;