无界区域上几类分数阶微分方程谱方法

论文摘要

分数阶微分方程在现实生活中的各方面有着广泛的应用,它常常被用来模拟实际生活中的自然现象。相比较于经典的整数阶微分方程,应用分数阶微分方程模拟问题更符合实际问题的需要,也更能体现问题的本质。因此,越来越受到人们的青睐。近些年来,随着计算机技术的飞速发展,分数阶微分方程已广泛应用于大气监测、海洋探测、太空探索、医学图像、工程建筑等方面。而伴随着科学技术的进一步发展,分数阶微分方程也将迎来更广阔的应用前景。在本文中,根据两类广义连带Laguerre函数的性质,分别推得两类基函数分数阶导数后的具体表达形式,从而构造求解半无界区域上分数阶微分方程的谱方法。进一步,给出求解半无界区域上时间分数阶次扩散方程的Laguerre谱方法。针对不同的数值格式给出相应的误差分析结果。同时,根据尺度Hermite函数的性质,通过将问题转换到Fourier空间中,进而,分别给出求解两类分数阶Laplacian方程的Hermite谱方法。利用同样的方法,可以将此方法推广到高维问题中。主要做的工作包括下面几个方面首先,选取广义连带Laguerre函数为基函数,根据其性质可知,基函数的分数阶导数可以表示成某种广义连带Laguerre函数的形式。据此性质,给出两种形式（Galerkin形式和Petrov-Galerkin形式）的谱方法来求解半无界区域上的分数阶微分方程,并给出相应的误差分析结果。之后,通过选取适当的函数作为空间上的基函数,给出求解半无界区域上时间分数阶次扩散方程的Laguerre谱方法,给出误差分析结果,并结合具体的数值算例验证方法的有效性。其次,选取含参的广义连带Laguerre函数为基函数,根据其Laplacian变换及逆变换的性质可知,基函数分数阶导数后可以表示成第一类合流超几何函数的某种形式。据此性质构造数值格式,给出两种谱方法（Galerkin谱方法和谱配点法）求解半无界区域上分数阶微分方程,并给出误差分析结果。之后,通过选取适当的函数作为空间上的基函数,给出求解半无界区域上时间分数阶次扩散方程的改进Laguerre谱方法,给出误差分析结果,并结合具体的数值算例验证方法的有效性。最后,选取尺度Hermite函数为基函数,在处理无界区域上的分数阶Laplacian方程时,经Fourier变换作用,将问题转换到Fourier空间来进行处理。由于基函数经变换作用后仍为某类尺度Hermite函数,据此性质构造算法求解问题并给出相应的误差分析结果。同时,此方法还被用于求解带有一阶导数项的分数阶Laplacian方程。进一步,利用同样的思想,可以将此方法推广到高维问题中。

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文章来源

类型: 博士论文

作者: 于浩

导师: 吴勃英,张达治

关键词: 分数阶微分方程,谱方法,无界区域,多项式

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: O241.8

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.000369

总页数: 103

文件大小: 3422K

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