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分数阶偏微分方程的Legendre小波与正交样条配置法

2020-12-02阅读(263)

分数阶偏微分方程的Legendre小波与正交样条配置法

论文摘要

分数阶偏微分方程作为整数阶偏微分方程的推广,能够有效地描述各种具有记忆和遗传特性的材料及物理过程,在生物学、材料科学、化学动力学、电磁学、传输扩散、自动控制等领域得到了广泛的应用.由于分数阶偏微分方程的解析解一般很难求得,利用数值方法求解该类方程成为紧迫和重要的研究课题,也受到了越来越多学者的关注.本文采用两种可行有效的配置法数值求解工程领域中的几类时间分数阶偏微分方程,如时间分数阶电报方程、时间分数阶反应-扩散方程.本文主要研究了 Legendre小波与正交样条配置法在三种不同的时间分数阶偏微分方程数值解中的应用.第一章主要介绍了研究背景、意义和分数阶微积分的基本知识.第二、三、四章是本文的主要内容,也是作者的主要研究工作.第五章为总结与展望.第二章针对一类带弱奇异的四阶偏积分微分方程,在三种不同边界条件下,提出应用Legendre小波配置法进行数值求解.这三种边界条件分别是紧型边界、简单支撑型边界和横截支撑型边界,该类方程在本质上是时间分数阶偏微分方程.我们利用二阶向后差分格式对整数阶时间导数进行离散,利用Caputo导数的L1公式来逼近积分项,空间方向采用Legendre小波配置法,并且严格证明了所推导的半离散格式的稳定性和收敛性,数值算例验证了所提算法的可行性及有效性.第三章在第二章的基础上,提出对时间和空间方向导数都采用Legendre小波基函数进行逼近,分别考虑带有两种初始条件和Dirich-let边界条件的时间分数阶电报方程,并结合配置法将分数阶电报方程的求解问题转化为代数方程组进行求解,而且给出了算法的收敛性分析和误差估计,通过与精确解、相关文献结果比较验证了本文算法的有效性.第四章考虑了二维时间分数阶反应-扩散方程,利用具有三阶精度的带加权和移位的Gr（?）nwald差分（WSGD）算子来逼近α（0<α<1）阶时间分数阶导数,空间方向导数利用正交样条配置法进行逼近.我们给出了全离散格式的稳定性和收敛性分析,其收敛阶是O(τ3hr+1.为了验证理论分析结果的正确性,我们分别给出了一维和二维的数值例子.同时还给出了一个带Neumann边界条件的一维数值例子.从数值例子可以发现,本文所提方法是有效的,且数值结果与理论分析结果是一致的.

论文目录

  • 中文摘要
  • 英文摘要
  • 1. 绪论
  •   1.1 研究背景
  •   1.2 预备知识
  •   1.3 本文研究的方程
  •   1.4 本文研究动机和主要工作
  • 2. 四阶弱奇异偏积分微分方程数值解的Legendre小波半离散方法
  •   2.1 Legendre小波函数的定义及其分数阶积分公式
  •   2.2 四阶弱奇异偏积分微分方程的数值离散格式
  •     2.2.1 时间离散
  •     2.2.2 半离散格式的稳定性与收敛性分析
  •     2.2.3 空间逼近: Legendre小波配置法
  •   2.3 数值算例
  • 3. 时间分数阶电报方程数值解的Legendre小波配置法
  •   3.1 二维Legendre小波及其性质
  •   3.2 收敛性分析及误差估计
  •   3.3 Legendre小波求解分数阶电报方程的算法描述
  •   3.4 数值算例
  • 4. 正交样条配置法结合WSGD算子求解二维时间分数阶反应-扩散方程
  •   4.1 正交样条配置法的一些基本概念及引理
  •   4.2 全离散正交样条配置法格式的构造
  •   4.3 正交样条配置方法格式的稳定性与收敛性分析
  •   4.4 正交样条配置方法的算法描述
  •   4.5 数值算例
  • 5. 总结和展望
  • 参考文献
  • 攻读博士学位期间发表的学术论文
  • 致谢

    • 文章来源

    类型: 博士论文

    作者: 许小勇

    导师: 徐大

    关键词: 分数阶偏微分方程,小波配置法,正交样条配置法,有限差分法,加权移位的差分算子

    来源: 湖南师范大学

    年度: 2019

    分类: 基础科学

    专业: 数学,数学

    单位: 湖南师范大学

    分类号: O241.82

    总页数: 122

    文件大小: 4308K

    下载量: 94

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