陕西省凤翔县彪角中学721400
计数问题是数学的重要研究对象之一，分类计数原理与分步计数原理是解决计数问题的最基本最重要的方法，也称为基本计数原理。它是处理排列组合问题的基础，还利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。但这两个基本原理，对于刚开始学的学生来说经常被混淆使用。本文通过对数学中的一道涂色问题的挖掘使学生加深对两个原理的理解。
案例分析：
一、例题
如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同涂色方法种数为多少？
二、学生交流
学生甲：（采用分步乘法计数原理）
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域③，有4种涂法；第三步：涂区域②，有4种涂法；第四步：涂区域④，有4种涂法。
所以，共有5×4×4×4=320种涂法。
学生乙：（采用分步乘法计数原理）
第一步：涂区域③，有5种涂法；第二步：涂区域①，有4种涂法；第三步：涂区域②，有4种涂法；第四步：涂区域④，有4种涂法。
所以，共有5×4×4×4=320种涂法。
（错解）学生丙：（采用分步乘法计数原理）
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域②，有5种涂法；第三步：涂区域③，有3种涂法；第四步：涂区域④，有4种涂法。
所以，共有5×5×3×4=300种涂法。
（错解）学生丁：（采用分步乘法计数原理）
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域②，有5种涂法；第三步：涂区域④，有5种涂法；第四步：涂区域③，有2种涂法。
所以，共有5×5×5×2=250种涂法。
三、错误探究，揭示缘由
学生丙和学生丁的错误在哪里？正确的解法应该是什么呢？
学生丙错解分析：对于学生丙，由于①和②不相邻，它们两个涂色之间可以相互没有影响，都有5种选择，但是③和它们两个都是相邻的，它们两个取的颜色是否相同直接决定了③有几种选择。如果①和②同色，那么③就有四种颜色可以选择，如果①和②不同色，那么③就只有有三种颜色可以选择。而丙的错误就在于对于①和②的颜色是否相同没有讨论，在第二步认为它们两个没有影响，而在第三步直接默认两个不同来处理的。
正解：（采用先分类后分步的原则）分两类情况：
第一类：①和②同色。
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域②，有1种涂法；第三步：涂区域③，有4种涂法；第四步：涂区域④，有4种涂法。共有5×1×4×4=80种涂法。
第二类：①和②不同色。
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域②，有4种涂法；第三步：涂区域③，有3种涂法；第四步：涂区域④，有4种涂法。共有5×4×3×4=240种涂法。
所以，共有80+240=320种。
学生丁错解分析：对于学生丁，由于①、②和④都不相邻，它们三个涂色之间可以相互没有影响，都有5种选择，但是③和它们三个都是相邻的，它们三个取的颜色直接决定了③有几种选择。如果①、②和④三个同色，那么③就有四种颜色可以选择，如果①、②和④中有两同色，那么③就只有有三种颜色可以选择，如果①、②和④中三个两两不同色，那么③就只有有2种颜色可以选择。而丁的错误就在于对于①、②和④的颜色是否相同没有讨论在前三步认为它们三个没有影响，而在第四步直接默认三个两两不同来处理的。
正解：（采用先分类后分步的原则）分三类情况：
第一类：①、②和④三个同色；
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域②，有1种涂法；第三步：涂区域④，有1种涂法；第四步：涂区域③，有4种涂法。共有5×1×1×4=20种涂法。
第二类：①、②和④两个同色，分三种情况：①和②同色，①和④同色，②和④同色；
第一种情况：①和②同色；
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域②，有1种涂法；第三步：涂区域④，有4种涂法；第四步：涂区域③，有3种涂法。共有5×1×4×3=60种涂法。
第二种情况：①和④同色；
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域②，有4种涂法；第三步：涂区域④，有1种涂法；第四步：涂区域③，有3种涂法。共有5×4×1×3=60种涂法。
第三种情况：②和④同色。
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域②，有4种涂法；第三步：涂区域④，有1种涂法；第四步：涂区域③，有3种涂法。共有5×4×1×3=60种涂法。
第二类共有60+60+60=180种涂法。
第三类：①、②和④三个两两不同色。
第一步：涂区域①，有5种涂法；第二步：涂区域②，有4种涂法；第三步：涂区域④，有3种涂法；第四步：涂区域③，有2种涂法。共有5×4×3×2=120种涂法。
所以，总共有20+180+120=320种涂法。
四、方法总结
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理涂色问题的基本方法；
（2）根据不相邻区域是否同色分类讨论，从不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
对于一个计数问题，首先要面临的问题是“拆解”，使之变成一个一个较简单、易处理的问题，也就是抓住特定位置或抓住颜色种类进行突破、分步着色。解决问题的关键是依据题意，找到一个确定的标准，合理对问题进行分类或分步，但必须注意分类讨论要全面，要做到不重不漏。一题多解，有利于培养学生多角度多层次看待问题的能力。从不同角度看待同一个问题，更加有利于培养学生的思辨性。让学生们自己来发现问题、认识问题、不断探索、最终找到错误原因得到正确的解答方法，从而加深对两个原理的理解。