李芳（肥城市职业教育中心校山东泰安271600）
摘要：函数与方程的思想是高中数学学习的一条主线，在解题中，要善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式，而妙用函数的性质，更是应用函数思想的关键。
关键词：高中数学函数与方程的思想构造函数
在高中数学中，函数与方程的思想是一条主线，在高考当中反反复复被考查。因而在平时的学习研究中，一定要体会函数与方程思想的内涵与应用，以便更好地学习和应用数学，在数学学习中更上一层楼。
函数与方程是密切相关的，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数式y=f（x）看作二元方程y-f（x）=0。函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题可以转化为函数问题来解决，如解方程f（x）=0，就是求函数y=f（x）的零点。
函数与方程思想的应用，可以从以下几方面来探讨：
类型一:利用函数解决方程解的有关问题
[例1]如果方程cos2x-sinx-a=0在（0，]上有解，求a的取值范围。
解析：把方程变为a=cos2x-sinx=-sin2-sinx+1，设t=sinx，则t∈（0，1]。令f（t）=-t2-t+1，其中t∈（0，1]，显然当且仅当a∈f（t）的值域时，a=f（t）有解。
由t∈（0，1]，结合二次函数的知识，故f（t）∈[-1，1），故a的取值范围是[-1，1）。
点析：此题解答的关键是问题的转化。
此题不仅可以利用分离参数的函数方法，还可以把问题直接转化为二次函数问题解决。
设t=sinx，则t∈（0，1]，则原方程变为t2+t-1+a=0，依题意，该方程在（0，1]上有解。
设f（t）=t2+t-1+a，其图像是开口向上的抛物线，对称轴为t=-，在区间（0，1]的左侧。因此，f（x）=0在（0，1]上有解当且仅当f（0）<0且f（1）≥0即-1≤a<1，故a的取值范围是[-1，1）。
类型二:利用函数解决方程根的个数问题
[例2]已知函数f（x）=ln（ex+a）a是常数)是实数集R上的奇函数，试讨论关于x的方程=x2-2ex+m的根的个数。
解析：由f（x）=ln（ex+a）为奇函数，故f（0）=ln（1+a）=0，则a=0。故f（x）=lnex=x，所以方程为=x2-2ex+m，求其根的个数。令f1（x）=，f2（x）=x2-2ex+m，因为f1`（x）=，当x∈（0，e]时，f1`（x）≥0；x∈[e，+∞）时，f1`（x）≤0；x=e时，f1`（x）=0。所以f1（x）在（0，e]上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，故当x=e时，f1（x）有极大值f1（e）=。根据f2（x）=（x-e）2+m-e2的图像，
当m-e2>时，即m>e2+时，原方程无实数根。
当m-e2=，即m=e2+时，原方程有一实根。
当m-e2<，即m<e2+时，原方程有两实根。
点析：此题变方程为函数，借助函数性质与图像来解决。
类型三:利用函数解决不等式问题
[例3]已知不等式7x-2>（x2-1）m对m∈[-2，2]恒成立，求实数x的取值范围。
解析：设f（m）=（x2-1）m-7x+2，f（m）是m的函数，其图像是直线。
依题意，f（m）<0对m∈[-2，2]恒成立。
由于y=f（m），当m∈[-2，2]时图像是线段，该线段应全部位于x轴下方，故其端点的纵坐标小于0，即f（-2）<0且f（2）<0，解得<x<。故适合题意的x的取值范围是<x<。
点析：此题变不等式为函数，借助函数解决时注意参数的相应变化。
类型四:利用函数解决数列问题
[例4]已知等差数列5，4，3，……的前n项和为sn，求使得sn最大的序号n的值。
解析：由题意，等差数列5，4，3，……的公差为-，所以sn=[2×5+（n-1）（-）]=-n2+n。此式我们可以看成关于n的二次函数，故图像为开口向下的抛物线，对称轴为n=，但n∈N+，故当n取7或8时，sn取最大值。
点析：数列是特殊的函数，函数思想可以在数列中充分应用。
类型五:利用方程解决函数问题
[例5]求函数y=的值域。
解析：将函数变形，整理可得2yx2-4yx+3y-5=0。当y=0时，-5=0不可能，故y≠0。
因为x∈R，所以△=（-4y）2-4×2y（3y-5）≥0，即y（y-5）≤0，解得0≤y≤5，而y≠0，故y∈（0，5]。
点析：此题变函数为方程，利用判别式求解。但注意考虑特殊情况。
类型六:函数和方程思想的相互转化结合
[例6]已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=61nx+m，是否存在实数m使得y=f（x）的图像与y=g（x）的图像有且只有三个不同的交点?若存在，求出m的取值范围;若不存在，说明理由。
解析：函数y=f（x）的图像与y=g（x）的图像有且只有三个不同的交点，即方程f（x）=g（x）有且只有三个不同的正实根，或函数Φ（x）=g（x）-f（x）的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
Φ（x）=x2-8x+6lnx+m，
故Φ`（x）=2x-8+=
当x∈（0，1）时，Φ`（x）>Φ（x）是增函数;
当x∈（1，3）时，Φ`（x）<0，Φ（x）是减函数;
当x∈（3，+∞）时，Φ`（x）>0，Φ（x）是增函数;
当x=1或x=3时，Φ`（x）=0。
故Φ（x）极大值=Φ（1）=m-7，Φ（x）极小值=Φ（3）=m+6ln3-15。
当x充分接近0时，Φ（x）<0，当x充分大时，Φ（x）>0；
故要使函数图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须Φ（x）极大值=Φ（1）=m-7>0并且Φ（x）极小值=Φ（3）=m+6ln3-15<0，即7<m<15-6ln3。
所以存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图像有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15-6ln3）。
点析：此题充分考查了方程和函数数形结合、分类整合等思想分析解决问题。
总之，函数与方程的思想解决的问题非常广泛，因而在平时的学习和研究中，要好好总结。本文只是作者的粗陋认识，望朋友们指正。