函数拓扑空间、半拓扑群与仿拓扑群的研究

论文摘要

拓扑代数是一般拓扑学中一个很重要的研究方向,函数拓扑空间与拓扑代数密切相关.在具有点态收敛拓扑的函数拓扑空间Cp（X,Y）中,若:Y是拓扑群,则Cp（X,Y）也是拓扑群.最近几年,拓扑学者特别关注Cp（X）、Cp（X,n）、拓扑群、仿拓扑群、半拓扑群、拟拓扑群等拓扑代数对象的性质研究.本学位论文主要围绕GO-空间L的Dedekind完备化剩余与L上连续阶梯函数空间Cp（L,n）之间关系、半拓扑群的T2反射与三空间性质、某些仿拓扑群族和半拓扑群族乘积空间的子群等方面展开研究.首先,我们研究了广义序拓扑空间L上连续阶梯函数空间Cp（L,n）的性质.对于给定的广义序拓扑空间L,记cL为L的Dedekind完备化,并设Sp（L,n）为Cp（L,n）的由常函数和只有有限个分段点的阶梯函数构成的子空间.cL中的一点x在T（L）中当且仅当x ∈ cLL,或x=∞,或者x∈ L且x在L中有直接后继;T（L）中的点若属于L,则该点为T（L）中的孤立点,T（L）中其它点的邻域是该点在Dedekind完备化cL中的邻域与T（L）的交.我们证明了若L是广义序拓扑空间,则T（L）n可被有限个与Cp（L,n+1）的某个闭子空间同胚的闭子空间所覆盖.从而证明了若L是广义序拓扑空间且对每个正整数n来说T（L）n都是Lindelof（Menger）空间,则对每个正整数n,Sp（L,nn）也是Lindelof（Menger）空间;若L是可数紧的广义序拓扑空间,则T（L）是Lindelof空间的充要条件是对每个正整数n,Cp（L,n）是Menger空间;若L是第一可数的广义序拓扑空间且L’={x∈L:x不是孤立点}是可数紧空间,并且Y=L＼L’∩ L’是秩小于ω1的散布空间,则对正整数ml来说CCp（L,mmm）是Menger空间的充要条件是Cp（L,m）是Lindelof空间.同时,我们研究了Sp（L,n）与Cp（L,n）的关系,证明了如果L广义序拓扑空间,则对每个正整数n,Sp（L,n）在Cp（L,n）中是稠密的.其次,我们讨论了在半拓扑群的T2-反射函子作用下不变或逆不变的一些拓扑性质,并将拓扑群（仿拓扑群）中的一些三空间性质推广到了半拓扑群,得到如下结论:设G是正则半拓扑群,H是G的闭子群且半拓扑群H的所有紧（或可数紧、序列紧）子集是第一可数的,若商空间G/H中的所有紧（或可数紧、序列紧）子集是Hausdorff的且是强Frechet（严格Frechet）的,则G中的所有紧（或可数紧、序列紧）子集也是Hausdorff的且是强Frechet（严格Frechet）的.然后,我们研究了具有某些特征的仿拓扑群（半拓扑群）族乘积空间子群的性质:给出了仿拓扑群拓扑同构于某个强可度仿拓扑群族乘积的子群的一些充分条件;证明了正则（Hausdorff,T1）半拓扑群G可以作为子群拓扑同构地嵌入到可作为σ-空间的正则（Hausdorff,T1）第一可数半拓扑群族的乘积空间中当且仅当G局部ω-良性（good）,ω-均衡（balanced）,具有可数正则指数（Hausdorff数,对称数）并且对于G中单位元e的每个开邻域U,覆盖{xU:x ∈ 存在相对于e的某个可数开邻域族V是σ-离散的基本加细F.我们最后给出了当i=0,1,2时具有Ti分离性的半拓扑群可以作为子群拓扑同构地嵌入到Ti第二可数半拓扑群族乘积空间中的充要条件,这回答了[132]中的问题3.1在i=0,1,2时的情况.

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文章来源

类型: 博士论文

作者: 郭明月

导师: 彭良雪

关键词: 函数拓扑空间,半拓扑群,完备化剩余,反射,强可度量化

来源: 北京工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 北京工业大学

分类号: O189

DOI: 10.26935/d.cnki.gbjgu.2019.000883

总页数: 117

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