徐云[1]2003年在《非线性椭圆型方程多解的计算与研究》文中进行了进一步梳理本文在C.M.Chen和Z.Q.Xie提出的一种全新的计算非线性椭圆型方程多解的搜寻延拓方法SEM的基础上，引入了有限元方法和插值系数方法，改进后的SEM(称为ISEM)大大减少了计算量，并且将原方法推广到非奇非线性情形和多种区域(包括凹域)上。 主要结果如下： (1)利用ISEM方法算得的数值结果初步证实了文[4]中关于奇非线性椭圆型方程多解的分布结构的猜想，从任一特定的初值出发，可以算得它所对应的解。在某些区域(正方形区域、叁角形区域和上型区域)上算得了比现有的其他方法(山路型算法MPA和High-Linking算法等)更多的解。 (2)初步证实了文[4]中关于对称区域上非线性项f(u)=u~3时方程多解的数目至少为3~k-1(k为算子特征根的重数)个的猜想。
张旭平[2]2013年在《多项式非线性椭圆型方程多解的同伦方法》文中研究指明在科学和工程中,很多问题的数学模型可以归结为半线性椭圆型方程或方程组。本文的主要目的是研究计算具有多项式非线性的椭圆型方程边值问题多个解的数值方法。我们吸纳了特征函数展开离散化方法、多项式方程组的同伦方法、有限元牛顿法这几种方法的优点,将这几种方法有序地组织起来安放于不同求解阶段,设计了一套计算此类椭圆型方程边值问题多解的系统方法。本文包括以下几方面内容：1.为了求带多项式非线性的椭圆型方程的多个解,我们对其采用特征函数展开离散化,我们分析了其离散误差,得到误差的H1估计和L2估计。基于离散误差估计,我们设计了一个新的过滤策略以剔除离散化方程组的可能的伪解,该策略不依赖于解的性质,同时还可以提高非伪解的精度。对于过滤后的解,我们再采用有限元牛顿法进一步提高精度。2.对于特征函数展开离散化得到的多项式方程组,当所用特征函数个数增加时,求全部解的标准同伦方法效率不高。为了快速求解某离散水平Nc上的多项式方程组,我们利用其结构,对在Nc之前的逐次加细的水平上的方程组构造形变,设计了扩张同伦算法,在前一水平上多项式方程组的全部解求得之后,后一水平上多项式方程组的全部解可以利用前一水平的全部解快速求得。我们分析了该同伦所确定路径的光滑性和可达性。3.我们证明了陈传淼和谢资清提出的一个猜想,此猜想断言,关于叁次非线性椭圆型方程-△u=u3,当特征函数展开法中所采用的有限维子空间是相应于一个N重特征值的特征子空间时,离散化问题至少存在3N-1个非零实解,我们将它精确化为恰好存在3N-1个非零实解。我们研究了将此猜想的结论推广到叁维叁次非线性情形和二维五次非线性情形,并得到了初步结果。另外,我们还得到与此相关的二维单位方块和叁维单位立方体上Laplace算子特征值的所有可能重数的结果。4.对于二维单位方块上多项式非线性椭圆型方程,我们证明了特征函数展开离散化问题的解集继承了边值问题解集的对称性。根据解集的对称性,利用已证明的陈-谢猜想和陈-谢猜想五次非线性情形的类似结果,我们分别构造了对称同伦以快速计算具有一般叁次非线性和一般五次非线性的椭圆型方程的离散化多项式方程组的全部解。由于对称同伦法只需跟踪代表解路径,因而可以节省很多计算量。5.牛顿法是求解非线性代数方程组的经典方法,然而这种方法对初始猜测的要求非常高,即只具有局部收敛性。阻尼牛顿法和牛顿同伦法是两种改进牛顿法的全局化方法。从决定这两种算法所跟踪路径的微分方程的角度看,这两种方法所要偱行的相轨线是一致的,然而从算法实际执行的角度看,这两种方法所产生的迭代序列却是不同的。我们分析了阻尼牛顿法和牛顿同伦法,从迭代序列的前进方向和前进步长两方面讨论这两种方法的区别和联系。
袁永军[3]2012年在《奇异摄动半线性椭圆型方程多解计算方法及相关问题的研究》文中研究指明本文研究了一类典型的奇异摄动Neumann问题,一类一般的奇异摄动Neumann问题以及一类半线性椭圆Dirichlet问题的多解计算理论与数值算法。对奇异摄动多解模型提出了改进型LMM算法并对算法的收敛性进行了分析,对半线性椭圆Dirichlet问题设计了基于Chebyshev谱配点法的SEM算法并对算法的收敛性进行了分析。本文还证明了奇异摄动多解模型的一些理论结果。首先,本文通过放松传统局部极小极大算法(LMM)在选择初始上升方向时的严格正交性条件的限制,并引入局部加密网格策略及其它策略,提出了改进型LMM算法。证明了新算法产生的点列在满足峰选择p连续、可分离条件以及能量泛函下方有界叁个条件之下一定能收敛到新解。本文的数值算例首次比较系统地计算得到了奇异摄动Neumann问题的最小能量解、边界角落处多峰解、边界非角落处多峰解、内部单峰解、内部多峰解以及其它一些特殊的解。接下来,受数值结果启发,本文先后证明了奇异摄动模型(1-1)和(4-1)的平凡解在任意ε值时的Morse指标、平凡解的分叉点以及决定非平凡正解与非平凡负解是否存在的临界值εc1与εc2。讨论了最小能量解和变号解的一些性质,当ε充分大时,得到一个同类变号解的能量与最大值的增长阶分别为两p+1/p-1和1/p-1的猜想。这些理论结果被大量数值结果所验证。最后,本文对一类半线性椭圆Dirichlet问题设计了基于Chebyshev谱配点法的SEM算法。在基本假定(5-18)下分析了该算法的收敛性,证明通过Chebyshev谱配点法求解模型方程(1-3)得到的数值解与其相对应的真解的Hω1和Hω2误差分别为O(N1-σ)和O(N-σ),它们反映了谱配点法的丰满阶。而且,当N充分大时,充分靠近某一真解u的数值解uN是唯一的。数值结果表明基于Chebyshev谱配点法的SEM算法比传统的基于有限元离散及两网格法的SEM算法效率更高。
徐云, 谢资清[4]2003年在《非线性椭圆型方程多解的计算》文中指出讨论了一种改进的计算非线性椭圆型方程多解的算法,我们的数值例子表明了该算法的有效性.
吴文佳[5]2014年在《半线性椭圆型方程多解计算的Goldstein型Minimax方法》文中研究说明在科学技术研究中非线性偏微分方程多解的研究变得越来越重要。近年来,其数值计算方法的研究得到了数学家、物理学家等科学家们的高度关注。本文在计算半线性椭圆型方程的局部极小极大算法(LMM)的启发下,通过改进最优化理论中的线性搜索准则,并将其与LMM方法结合,设计了一种基于Goldstein准则的局部极小极大方法,用来计算具有变分结构的半线性椭圆型方程的多解问题。Y.Li和J.Zhou在文[16]中通过将最优化理论中的Armijo线性搜索准则进行标准化,提出了计算半线性椭圆型方程多解的局部极小极大方法,并进行了相应的收敛性分析。但是当Armijo准则的步长因子取得太大时,需迭代很多次才能满足下降性条件；当步长取得太小时,收敛又太慢。故本文通过引进标准化后的Goldstein线性搜索准则来克服Armijo准则的上述缺点。文章给出了Goldstein型局部极小极大算法,并且进行了收敛性分析,同时计算了不同区域上的Lane-Emden方程和Henon方程的多解。值得指出的是,Armijo准则和Goldstein准则在偏微分方程中的成功应用,使得求解无约束最优化问题中的经典线性搜索理论在一定程度上得到推广,这是非常有意义的工作。
谷龙江[6]2013年在《几类非线性变分椭圆型方程的研究》文中进行了进一步梳理在本文中,我们利用变分方法研究了叁类非线性椭圆问题。在第二章,对于强不定问题,我们证明了一个新的喷泉定理,即第二章中的定理2.2。我们去掉了已有文献中相关喷泉定理关于变分泛函的τ-上半连续性条件,所以该喷泉定理在处理一些非线性项变号的椭圆问题所对应的强不定问题时亦是有效的。作为一个简单的应用,本文我们研究了如下的椭圆型Schrodinger方程:(?)其中1<q<p/(p-1)<2<N-2*=(?),位势函数V(x)和权函数g(x)都是变号的。利用我们证明的喷泉定理,即本文的定理2.2,证明了方程(P1)有无穷多解。在第叁章中,我们还研究了一类带周期位势的Schrodinger方程,简单地看,这类方程具有如下形式:其中,位势函数V(x)关于x1,...,以是1-周期的,2<r<q<2*.若非线性项中的低阶扰动足够小,即,λ>0足够小时(对更一般的非线性项可参看第叁章中的条件(f1)-(f5)及注3),我们证明了方程(P2)无穷多解的存在性。首先,我们使用新的技巧分析了方程(P2)变分泛函的(PS)序列的结构。然后,由于τ-上半连续性条件的缺失带来的困难,我们使用新的方法证明了形变引理。在第四章中,我们使用约束变分方法研究了如下的p-Laplace方程的非线性特征值问题:-△pu + V(x)|u|p-2u = μ|u|p-2u + a|u|s-2u,x∈Rn,(P3)其中p€(1,n),s=p+p2/n,a≥0和μ∈R为参数,负位势数数V(x)是制的利用约束变分方法,我们证明了:存在临界参数a*使得当0≤a<a*时,方程(P3)存在基态解,而当a ≥ a*时,方程(P3)不存在基态解。然后,通过能量估计方法,我们讨论了当a从下方逼近a*时,方程(P3)基态解的渐近行为。特别地,当位势函数V(x)是"多项式"型时,我们给出了(P3)的基态解的精确爆破率。该结果将已有p = N = 2时相关结果推广到了一般情形。
李昭祥[7]2008年在《计算非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧方法》文中研究说明本文讨论如下非线性椭圆型方程边值问题r≥0,Ω是平面上的区域,△pu = div(▽| u|p~-2▽u), ??是?的边界,x = (x1,x2),x~0是?的中心.当p = 2时,方程(0-1)被称为Henon方程.本文提出了求解此类方程的3种算法.算法1.通过引进分歧参数将问题嵌入到一个新的非线性分歧问题,然后根据分歧理论,从该问题关于零解的线性化问题的特征值出发,会出现与相应特征函数对称性相同的非平凡解枝,沿着这条非平凡解枝将分歧参数延拓到0就得到原问题的一个非平凡解.于是我们可以找到尽可能多的具有不同对称性质的变号解.算法2.对于方程中任意给定的参数r,通过Liapunov-Schmidt约化求出近似分歧方程表达式,给出用Newton方法求解该问题的迭代初值后直接求解.从而有效地解决初值选取困难的问题,极大地减少计算的工作量.算法3.从r = 0时问题的对称正解出发,以r为延拓参数,通过延拓得到问题的对称正解解枝.同时监视相应Jacobi矩阵的特征值,在对称解枝上发现对称破缺分歧点,给出扩张系统具体求出对称破缺分歧点,再用解枝转接方法找到具有其它对称性质的正解枝,从而对于某些区间内的r,可以找到多个具有不同对称性质的正解并给出解的图像,在延拓时,若遇到折迭点,我们同样给出计算该折迭点的扩张系统,而且引入拟弧长延拓方法,使解枝顺利通过折迭点,从而完成整条解枝的计算.当p = 2时,此时方程(0-1)被称为p-Laplacian-Henon方程.由于p-Laplacian算子具有更强的非线性性,我们用3种同伦延拓的方法来求解问题(0-1).算法1. p延拓.取p = 2时问题(0-1)的解作为初值,以p为参数进行延拓,直至p = p?,这里p?是所求问题(0-1)中的p.算法2.同伦延拓.引入参数t把问题(0-1)嵌入到如下问题以t = 1时Henon方程边值问题的解作为初值,通过同伦延拓直至t = 0.从而得到p-Laplacian-Henon方程边值问题的具有各种对称性质的解.算法3.对给定的p,从r = 0时问题(0-1)的对称正解出发,通过r延拓得到问题(0-1)的对称正解枝,监视相应Jacobi矩阵的特征值,发现解枝上的对称破缺分歧点,再用解枝转接方法求出具有其它对称性质的正解枝,从而对于某些区间内的r,找到具有不同对称性质的多个正解.
曹道民, 彭双阶, 王庆芳[8]2016年在《Pohozaev恒等式及其在非线性椭圆型方程中的应用》文中研究说明在非线性椭圆型偏微分方程的研究中,Pohozaev恒等式在研究非平凡解的存在性和非存在性时起着十分重要的作用.本文旨在介绍Pohozaev恒等式及其在非线性椭圆型问题研究中的应用.首先介绍有界区域和无界区域上几种典型的Pohozaev恒等式,并得到几类非线性椭圆型方程存在解的必要条件,进而得到对应的方程非平凡解的非存在性和存在性结果.其次将介绍非线性椭圆型方程的局部Pohozaev恒等式,由此证明非线性椭圆型微分方程近似解序列的紧性,并得到几类典型非线性椭圆型方程的无穷多解存在性.最后利用非线性椭圆型方程的局部Pohozaev恒等式来研究其波峰解,得到波峰解的局部唯一性,并由此判断波峰解的对称性等特征.
黄娟[9]2007年在《非线性椭圆型方程的Nehari流形》文中研究指明本文研究了非线性椭圆型方程的Nehari流形.第一章研究了一类具有凹凸项的非线性椭圆型方程的Nehari流形,利用Nehari流形上的Palais-Smale序列,得到了该方程正解的存在性.第二章讨论了无界区域RN上具有无界系数的非线性椭圆型方程的Nehari流形.利用该方程的Nehari流形和该章的一个紧性命题得到该方程的非径向对称解的存在性.第叁章研究了加权Sobolev空间的一类非线性椭圆型方程的Nehari流形.运用加权Sobolev空间的嵌入定理和齐次特征值问题的性质,分析了Nehari流形与fibrering映射的关系,进而讨论了Nehari流形的性质,进一步,运用这些性质得到该非线性椭圆型方程正解的存在性.
陈文晶[10]2010年在《紧黎曼流形上非线性椭圆方程解的存在性研究》文中认为本文研究紧黎曼流形上半线性椭圆方程多解的存在性以及拟线性椭圆方程正解的存在性问题.在第一章中,介绍有关半线性椭圆方程与拟线性椭圆方程的研究背景与已有的研究结果,并简单叙述了本文的研究工作.在第二章中,给出了一些基本知识,包括筹数的定义及其性质,以及流形的基本知识.在第叁章,我们研究下列半线性椭圆方程(?)多解的存在性.其中M是一个紧的、连通的、定向的、无边的、光滑的n维黎曼流形, n≥3, g是M上的黎曼度量, ?g是Beltrami-Laplace算子, 2 < p < 2? = n2?n2.假设V(x)和K(x)是M上正的连续函数,通过分析V(x)与K(x)的性态影响方程(1)解的个数,得到方程(1)多解的存在性.在第四章,我们研究拟线性椭圆方程(?)正解的存在性,其中M是一个紧的、连通的、定向的、无边的、光滑的n维黎曼流形, n≥3, g是M上的黎曼度量, (?p)gu = divg(| gu|p?2 gu), f∈C1(M×R×Rn).方程(2)因为不具有变分结构,所以不能用通常的临界点理论来研究解的存在性.我们运用爆破方法结合刘维尔型定理得到方程(2)解的先验界,再利用拓扑度方法证明方程(2)存在一个正解u∈C1,α(M),其中0 <α< 1.
参考文献：
[1]. 非线性椭圆型方程多解的计算与研究[D]. 徐云. 湖南师范大学. 2003
[2]. 多项式非线性椭圆型方程多解的同伦方法[D]. 张旭平. 大连理工大学. 2013
[3]. 奇异摄动半线性椭圆型方程多解计算方法及相关问题的研究[D]. 袁永军. 湖南师范大学. 2012
[4]. 非线性椭圆型方程多解的计算[J]. 徐云, 谢资清. 湖南师范大学自然科学学报. 2003
[5]. 半线性椭圆型方程多解计算的Goldstein型Minimax方法[D]. 吴文佳. 湖南师范大学. 2014
[6]. 几类非线性变分椭圆型方程的研究[D]. 谷龙江. 中国科学院大学(中国科学院武汉物理与数学研究所). 2013
[7]. 计算非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧方法[D]. 李昭祥. 上海师范大学. 2008
[8]. Pohozaev恒等式及其在非线性椭圆型方程中的应用[J]. 曹道民, 彭双阶, 王庆芳. 中国科学:数学. 2016
[9]. 非线性椭圆型方程的Nehari流形[D]. 黄娟. 四川师范大学. 2007
[10]. 紧黎曼流形上非线性椭圆方程解的存在性研究[D]. 陈文晶. 江西师范大学. 2010
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