fair （偏序）半群的Morita理论

论文摘要

本文主要研究fair（偏序）半群的Morita理论,首先给出fair半群的Morita-like等价的性质和结论;然后讨论fair偏序半群的Morita等价的关系;最后研究了有弱局部单位偏序半群的Morita不变量.本文共分四章,具体内容如下:第一章,给出引言和预备知识.第二章,主要研究了右fair半群的Morita-like等价和Morita context.若右fair半群S和T是Morita-like等价,也就是说存在范畴等价F:US-Aet（?）UT-Aet:G,函子F和G的特性可通过Hom函子和张量积函子来刻画.另外我们研究了右fair半群的Morita context并得到了两个右酉系范畴的等价.主要结论如下:定理 2.1.6 设 S 和 T 是半群.假设（S,SPT,TQs,τ,μ）是 Morita context,其中τ:P（?）TQ→S和μ:Q（?）SP→T是双系同态使得Imτ=U（Ss）,Imμ=U（TT）.则我们可以得到下列函子的自然同构:-（?）SP（?）HomssQs,-)U（TT）,-（?）TQ≌HomT（PT,-）U（Ss）.定理2.1.8 设S和T是两个右fair半群且U（Ss）和U（TT）有公共弱右局部单位.假设S和T通过F:US-Act（?）UT-Act:G是Morita-like等价的.令P=F（U（Ss））,Q=G（U（TT））,则（1）PT和Qs分别是UT-Act和US-Act的生成子.（2）半群 End（PT）/U（Ss）≌U（SS）,End（Qs）U（TT）≌（TT）.（3）sPT和TQs是酉双系.（4）sPT≌Homs（Qs,U（Ss））U（TT）,TQsS=llomT（PT,U（TT））U（Ss）.（5）F≈Homs（Qs,-）U（TT）,G≈HomT（PT,-）U（Ss）.（6）SPT和TQs诱导出Morita context（S,SPT,TQs,τ,μ）使得τ和μ是双系同态分别使得Imτ=U（Ss）,Imμ=U（TT）.另外,我们在Q（?）sP和P（?）TQ上分别定义乘法运算:（y（?）x）（y’（?）x’）=y（?）τ（x（?）y’）x’,（x（?）y）（x’（?）y’）=x（?）μ（y（?）x’）y’,其中x,x’∈P,y∈Q.则Q（?）sP和P（?）TQ是半群,μ和τ是半群同态.（7）F≈-（?）sP,G≈-（?）TQ.定理2.2.3 设S和T是两个右fair半群且U（S）和U（T）有公共弱右局部单位.假设（S,T,SPT,TQS,τ,μ）是 Morita context,其中SPT和TQS是强s-酉的,Imτ=U（SS）,Imμ=U（TT）.则（1）Qs和PT分别是US-Act和UT-Act的生成子.（2）作为双系,P（?）TQ（?）SU（SS）S,Q（?）SP（?）TU（TT）T.另外,若我们在P（?）T Q和Q（?）sP上分别定义乘法:（x（?）y）（x’（?）y’）=x（?）μ（y（?）x’）y’,（y（?）x）（y’（?）x’）=y（?）τ（x（?）y’）x’,其中x,x’∈P,y,y’∈Q.则P（?）TQ和Q（?）SP是半群,τ和μ是半群同构.（3）作为双系,SPT≌Homs（QS,U（SS））U（TT）,TQS,≌HomT（PT,U（TT））U（SS）.（4）作为半群,U（TT）≌End（Qs）U（TT）,U（SS）≌End（PT）U（SS）.（5）函子对（-（?）S-（?）TQ）诱导出范畴等价-（?）sP:US-Act（?）UT-Act:-（?）T Q.也就是说,S和T是Morita-like等价半群.（6）函子对（Homs（Qs,-）U（TT）,HomT（PT,-）U（SS））诱导出范畴等价Homs（Qs,-）U（TT）:US-Aet（?）UT-Act:HomT（PT,-）U（SS）.也就是说,S和T是Morita-like等价半群.（7）U（SS）（U（TT））的右理想格与PT（QS）的子系格同构.另外,这些同构诱导出U（SS）（reesp.,U（TT））的理想格与SPT（resp.,TQS）的子系格是格同构.第三章,研究了U（S）具有公共弱右局部单位的右fair偏序半群的Morita等价,并给出这类偏序半群Morita等价的等价条件.主要结论如下:定理3.2.6 设S为满足WRDP的右fair偏序半群,且I=U（SS）有公共弱右局部单位.则（1）范畴Pos-US和范畴Pos-U1是等价的;（2）范畴Pos-FS和范畴Pos-FI是等价的.定理3.2.8 设S和T是两个满足WRDP的右fair偏序半群,且U（SS）和U（TT）有公共弱右局部单位.则下列条件等价.（1）范畴Pos-US和范畴Pos-UT是等价的.（2）范畴Pos-FS和范畴Pos-FT是等价的.（3）偏序半群S和偏序半群T是Morita等价的.（4）范畴Pos-UU（SS）和范畴Pos-W（TT）是等价的.（5）范畴Pos-FU（SS）和范畴Pos-FU（TT）是等价的.（6）偏序半群U（SS）和偏序半群U（TT）是Mlorita等价的.第四章,研究了有弱局部单位偏序半群的Morita不变量.本章中的半群是有弱局部单位的半群.我们得到了素子偏序集,半素子偏序集,m-系,n-系,强凸核,强凸半准素子偏序集的一些性质.并得到了这些不变量在有弱局部单位偏序半群强Morita等价下的一些结论.主要结论如下:定理4.2.5 设S和T是强lMorita等价偏序半群,则下列论述成立:（1）P是（S,T）偏序集,M是P的强凸素子偏序集当且仅当对P的任意强凸子偏序集A和B,如果g1（A）B=Ag3（B）（?）M,则A M或B M.（2）P是（S,T）-偏序集,N是P的强凸半素子偏序集当且仅当对P的任意强凸子偏序集A,如果g1（A）A=Ag3（A）（?）N,则A N.定理4.2.8 设S和T是强Morita等价偏序半群.则下列论述成立:（1）如果 p,p’ ∈ H,存在 q ∈ Q 使得 θ（p（?）q）p’=pφ（q（?）p’）∈H,则H是P的一个m-系.（2）如果p ∈H,存在q ∈ Q使得θ（p（?）q）p=pφ（q（?）p）∈H,则H是P的一个n-系.定理4.2.9 设S和T是两个强Morita等价偏序半群.则下列论述成立:（1）S的全部素理想组成的集合和P的全部强凸素子偏序集组成的集合之间存在一个双射.（2）S的全部半素理想组成的集合和P的全部强凸半素子偏序集组成的集合之间存在一个双射.定理4.3.7设S和T是强Morita等价偏序半群,则S的全部半准素理想组成的集合和P的全部强凸半准素子偏序集组成的集合之间存在一个双射.

论文目录

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 李洋

导师: 刘红星

关键词: 半群,等价,函子,偏序半群,偏序集,理论,不变量,素半素子偏序集,强凸半准素子偏序集

来源: 山东师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山东师范大学

分类号: O152.7

DOI: 10.27280/d.cnki.gsdsu.2019.000024

总页数: 54

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