论文摘要
近几十年来,分数阶扩散方程的研究成果已被广泛用于多个领域.分数阶扩散方程解析方法有Mellin变换,Laplace变换和Fourier变换等.但这些方法通常仅适用于求解一些简单或者特殊情形,对于一般的分数阶扩散方程,更多的还是采用数值方法求解.由于分数阶微分算子的非局部性,离散后得到的系数矩阵往往是稠密矩阵,这给大规模问题的数值计算带来诸多困难.所以研究分数阶扩散方程的快速算法是很有必要的.本文主要研究的是一类变系数分数阶扩散方程的预处理方法.在数值离散时,通过引入中间变量,再利用混合有限元方法,原问题就转化为两组线性方程组.其中一组是三对角线性方程组,可以用直接法求解.而另一组则是稠密的,且往往是病态的,但带有一定特殊结构的线性方程组.我们的目的就是设计求解这第二组线性方程组的快速预处理方法.本文具体工作如下:(1)基于问题的特殊结构,对系数矩阵的行和列进行适当的重新排序后,我们将其改写成2×2分块结构,其中一个对角块是低维数矩阵,另一个对角块是Toeplitz矩阵.基于这个发现,我们提出了块对角和块上三角预处理子,并对预处理后的系数矩阵的特征值分布进行了分析.(2)为了降低计算成本,增加预处理子的实用性,我们用循环矩阵来近似其中的Toeplitz矩阵,并分别针对单边分数阶扩散方程和双边分数阶扩散方程情形,对新的预处理子的理论性质进行了细致的研究.(3)我们对提出的预处理方法进行了数值测试,通过数值算例验证了预处理方法的有效性.
论文目录
文章来源
类型: 硕士论文
作者: 张生
导师: 潘建瑜
关键词: 分数阶扩散方程,矩阵,混合有限元,预处理子
来源: 华东师范大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学,数学
单位: 华东师范大学
分类号: O241.82
总页数: 56
文件大小: 1507K
下载量: 28
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