纽结不变量的性质和计算

论文摘要

纽结理论面对的主要问题之一是如何区分不同的纽结。寻找易于计算并且区分能力强的同痕不变量在纽结理论的研究中占据比较大的比重。利用同痕不变量,我们可以方便地对纽结进行分类工作。常见的同痕不变量有投影图的三色性、两分支有向链环的环绕数、纽结的多项式、纽结群等,其中纽结的多项式是同痕不变量的重要组成部分。本文的主题是介绍三种同痕不变量的性质和计算。这三种不变量分别为:区域不变量、多拆结关系式不变量和非齐次不变量。区域不变量的构造受纽结群的维尔丁格(Writinger)表示思想的启发。纽结投影图将所在平面划分为几块区域,我们令每一块区域代表一个生成元,投影图上每一个交叉点代表生成元之间的一个关系,得到一种代数结构,称之为纽结或链环的Tridle。选取特殊的线性关系,可以得到纽结或链环的线性Tridle,以及线性Tridle的表示矩阵,继而得到一种新的多项式不变量。我们可以利用拆接关系式来定义同痕不变量。多拆结关系式不变量与传统的多项式不变量有几点不同,一是多拆接关系式不变量中引进了几种新的光滑化交叉点的方式,二是对投影图的任一交叉点,根据该交叉点的两条弧是否来自同一分支来选用不同的拆接关系式。本文给出一个简化版本的多拆接关系式不变量,对给定投影图,利用钻石引理,可以得到唯一的多项式值。该简化版本容易计算,并且是考夫曼(Kauffman)二变元多项式的推广。本文最后介绍一种非齐次纽结不变量,它有四个拆接关系式,部分拆接关系式含有非零常数项。这种非齐次的拆接关系式在之前是没有出现过的。本文将探讨拆接关系式中系数之间满足的关系,以及常数项和系数之间的关系。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 朱青松

导师: 杨志青

关键词: 多项式不变量,区域不变量,非齐次不变量,拆接关系式

来源: 大连理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 大连理工大学

分类号: O189.24

DOI: 10.26991/d.cnki.gdllu.2019.001005

总页数: 54

文件大小: 1907K

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