优化探究过程激活数学思维——一节校际平行课“举反例”案例教学的启发
张世钦
摘要：“举反例”的题型一直是近几年来各地市中考的常考题型，也是学生普遍认为较难于解答的一种新题型。本文通过一节校际平行课“举反例”的案例探究，引导学生掌握这种解题方法，激活学生的数学思维。
关键词：数学教学；举反例；探究；思维
作者简介：张世钦，任教于福建省厦门市翔安区教育研究中心
2008年5月29日，我区新店中学、大嶝中学举行校际平行课教学交流，承担平行课开课任务的老师是新店中学年轻教师杨老师，杨老师在《全等三角形复习》的练习中设计了一道2006年厦门市中考有关三角形全等举反例的考题，这一环节的设计很有创意，不仅能训练学生“举反例”的解题能力，而且使学生适时了解中考“旋转、举反例”等考试热点题型，近距离接触中考。然而杨老师在课堂上对这道题的简单处理却大大的削弱了本题的作用，也留给我们许多的感触和启发。
一、情境描述
《全等三角形复习》一课教学片段如下：
已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上。
（1）如图1，连结DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等。”是否正确，若正确请证明，若不正确请举反例说明；
（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,，连结DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等。并以图2为例说明理由。
旋转的位置不同，可能出现，，三种情况，举反例，应举特殊点的位置才能简明扼要说明问题。最后老师应引导学生讨论、交流，提炼总结解题方法：真命题正确性的证明应证问题的一般性，假命题举反例应举问题的特殊点。
这样，学生通过本题“举反例”的学习、领悟、消化，才能举一反三，触类旁通，以后学生在碰到同类型的问题，就能应付自如，就能有的放矢。
三、感悟和启发
1.教师的课堂教学应给学生留有足够的空间，提供学生参与数学探究活动的机会
本节课“举反例”案例的解答，对多数同学来说是比较困难的。教师在教学时应循序渐进，鼓励学生积极思考，同时，鼓励学生用多种方法解答，在分析问题和解决问题中不断摸索，积累经验，逐步提高自己。对于上例，可从不同角度进行解答。因此，在教学过程中要确保学生自主探究的时间和空间，让学生充分地读题、充分的思考、充分地讨论交流，让学生有充分自由宽松的解题空间，允许学生小组合作学习、自主学习。教师的任务就是引导学生通过独立充分的思考来获取知识，让学生在交流中暴露思维的过程，以及在这个过程中出现的疑问、困难，教师切不可以讲解或直接的灌输来代替引导启迪。
如本案例的教学：可以按四人一组把学生分成若干小组，通过引导学生独立思考，然后小组讨论交流，学生不难得出：可能出现前面列举，，三种情况，六种可能；
虽然学生获得上述结果要花许多时间，但做这样的一题的价值要比做五题强，同时学生活动自由了，参与意识增强了,思维更活跃了，因此花点时间是非常必要和值得的。
2.教师在教学中应鼓励学生大胆猜想
科学家牛顿有句名言：“没有大胆的猜想，就不可能有伟大的发明和发现。”将猜想引入数学教学之中，将有助于学生开阔视野、活跃思维、培养创新意识、促进能力的提高。因此，教师应转变观念，鼓励学生从多方面、多角度大胆猜想，激发学生的创新意识。
在教学中，教师要鼓励学生大胆猜想，提出不同的见解，对学生提出的观点不要急于下结论，应主动接纳学生的错误与失败，帮助学生了解错在哪里，让学生在关心和支持的氛围中，不断获得学习机会。同时，对敢于设想创新、标新立异的学生给予鼓励和表扬，以促进学生创新思维的发展。
3.教师的课堂教学应注重数学思维过程的教学
在数学课堂教学中，一方面，教师要注意适当地暴露、再现自己的思维过程，通过观察、比较、分类、特殊化、归纳、猜想、分析、综合等思维方法，展开数学知识的形成过程，使学生弄清知识的来龙去脉，知其然，更知其所以然，同时使他们受到数学思维的训练和数学思想方法的熏陶，从而学会提出问题、分析问题和解决问题，实现数学教育的本质功能，另一方面，要注意有效地暴露学生的思维过程，及时发现学生对数学问题的思维方法和思维习惯，弄清他们解题过程中真正的思维障碍，以提高思维训练的针对性。
如本案例：教师可以借助课件展示学生通过旋转得到以下几种解题情况：
通过展示学生的思维过程，可以使他们从中学会：面对一个新的数学问题时，应如何多角度地分析其条件和结论之间的关系，如何寻找解决问题的突破口，架起“条件”与“结论”之间的“桥”，当一条解题思路受阻时，应该如何变换思维角度，进行有效的类比、联想，将一般化特殊，寻找最佳的解题途径。更重要的是，在对问题的思维、探索的过程中，学生可以感受并学习面对困难和挫折时应有的百折不挠的精神，培养敢于克服困难的勇气和毅力，体验成功的愉悦和欢乐，增强自信。
4.教师应引导学生及时总结解题方法、数学思想
在课堂教学过程中，教师在每堂课里都要进行各种总结，也必须有意识地让学生总结，总结能力是一种综合素质的体现。培养学生总结能力，即锻炼学生集中思维的能力，这与培养学生的求异思维是相辅相成的，集中思维使学生准确、灵活地掌握各种知识，将它们概括、提取为自己的观点、作为求异思维的基础，保障了求异思维的广度、新颖程度和科学性。培养总结能力，课堂教学中要将总结的机会尽可能地放给学生，如总结一个问题总结一堂课的内容；总结一次讨论的结果；总结一次辩论的正、反意见等。如本案例，教师可在学生讨论交流出，，三种情况，六种可能的基础上提问：(1)举反例应该举哪一种来反驳最简单？(2)谁能归纳“举反例的解题方法”？(3)解这道题，你学会了哪些数学思想？
在教学中，教师应该及时、适时引导学生总结提炼数学各种题型的思考方法、思维方向，才能使学生“闻一知十”、“触类旁通”，在试题面前“运筹帷幄”“纵横捭阖”。
数学教育是一把开发智慧的钥匙，而数学教师则是开锁人，其责任重大，影响深远。古语说：“授人以鱼，三餐之需；授人以渔，终生之用”。在这个信息爆炸的资讯时代，知识高速地更新，社会快速地发展，环境迅速地变化，怎样才能使我们的学生在这种环境中求得进步和生存？在新课程背景下，作为数学教师，一定不能只授人以鱼，更应该授人以渔。就是说，培养学生从小能运用科学的学习方法，良好的思维习惯，去主动地获取所需的知识，成为一名爱学、会学、善学的人。
作者单位：福建省厦门市翔安区教育研究中心
邮政编码：361102
OptimizingInquiryProcessandActivatingMathematicalThinking
ZhangShiqin
Abstract:“Givingcounterexample”problemsfrequentlyappearinentranceexaminationforseniorhighschool,andstudentsthinkthattheyaredifficulttosolve.Thispaperanalyzesacaseabout“givingcounterexample”,hopingtoleadstudentstograspthewaystosolveproblemsandactivatestudents’mathematicalthinking.
Keywords:mathematicalteaching;givingcounterexamples;inquiry;thinking